2023 Fiscal Year Research-status Report

レビ過程におけるツリー法を用いた新しいオプション価格評価法

Research Project

Project/Area Number	22K01571
Research Institution	Tohoku University
Principal Investigator	室井芳史東北大学, 経済学研究科, 教授 (90448051)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Keywords	数理ファイナンス / 応用数学 / 数値計算
Outline of Annual Research Achievements	原証券価格過程が指数レビ過程に従う場合に効率的にアメリカン・オプション価格を計算する方法について研究を進めてきた。そのために、特に、ツリー法を用いた効率的な計算方法について考察を行ってきた。指数レビ過程において高精度にオプション価格計算するためのもツリーの構築法はすでに前年度まで研究が終わっており、レビ過程が有界変動過程であるかどうかに関わらず安定的にオプション価格を計算するためのツリーの構築が可能となっている。ところで、レビ過程モデルにおいてツリーを用いてオプション価格を計算しようと思えば、多項定理を利用することで数値的に特性関数を計算することとができる。よって、一旦、オプション価格などを高精度で計算することが可能なツリーを構築することができれば、離散フーリエ解析の諸手法を用いて高速にオプション価格が計算することができるものと考えられる。このアイデアを用いたヨーロピアン・オプション価格の計算はすでに実施したことがある一方で、アメリカン・オプション価格で計算が実施できるかについてはあまり考えてこなかった。アメリカン・オプション価格は最適停止問題を用いて定式化されるので、バックワード・インダクションを利用すれば価格の計算ができることは簡単に予想はされるが、得られた価格が正しい価格に収束することを数学的に示すことは未解決な問題であった。本年度は、この問題について数理的な証明を与え、それと同時に、数値計算を行うことで提案手法の優位性を示すことに成功した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究実績の概要にある通り、原証券価格過程が指数レビ過程に従う場合においてツリーと離散フーリエ解析の諸手法を用いてアメリカン・オプション価格の計算を行う手順について考察を行った。ここでは、COS法と呼ばれる手法を用いて価格計算を行っている。COS法は画像処理において多用される離散コサイン変換と呼ばれる数値計算法である。特性関数が数値計算により、一旦、計算されてしまえばオプション価格を計算する方法は離散コサイン変換以外にも考えうるが、数値積分を必要としないなどのメリットを考え、ここではすでにヨーロピアン・オプション価格の計算で実績のある離散コサイン変換を用いてアメリカン・オプションの価格を導出することとした。また、同時に、提案手法による数値計算も行い、アメリカン・オプション価格を極めて高速かつ高精度に計算できることを確認した。また、懸案となっていた真値への収束については、計算されたオプション価格と同様に誤差についてもバックワード・インダクションにより満期から現在に向かって積み上げていくことができることを示し、数学的に厳密な形で誤差評価ができることを示すことに成功した。本研究はすでに論文として纏めており、現在論文誌に投稿中である。
Strategy for Future Research Activity	すでに研究課題に対して最低限必要な研究は終了しているものと考えられる。今後は、さらなる応用があるかどうかについて考察を行いたい。特性関数が不明な一般のレビ過程モデルについての簡便なオプション価格評価法はあまり研究が進んでいない。今回の提案手法では、特性関数を数値計算した上で離散フーリエ変換手法を用いることにより一般のレビ過程モデルにおいてもオプション価格評価が可能となった。ここから、過去にあまり扱われてこなかったより広いレビ過程のクラスに対しても様々な数値計算手法の提案が可能となる可能性を感じている。例えば、提案手法を用いて一般のレビ過程に対する分布関数を数値計算し乱数生成器を作ってみることや、より広いクラスのレビ過程モデルに対するパラメータの統計的推測法の提案などが考えられる。今後は、投稿している論文をブラッシュ・アップする方法について考察をしつつ、提案手法をオプション価格評価以外の分野に対してどのように応用するかについても考えていきたいと考えている。
Causes of Carryover	残額は８万円以下と小さく誤差の範囲と考える。