2022 Fiscal Year Research-status Report
p進微分方程式の解の対数的増大度を駆使した数論幾何学における新手法
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22K03227
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
大久保 俊 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 講師 (20755160)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | p進微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、p進微分方程式のsingularityとgeneric radii of convergenceとの関係を研究した。具体的には、以下の問題を考察した。混標数(0,p)を持つrationalなcomplete nonarchimedean differential field Fが与えられたとき、F上の``有界な''開円板上``regular singular''なfinite differential module Mを考える。もう少し具体的に書くと、Mは適当な非アルキメデス環R上finite freeであり、log derivationの作用をもつものである。Mに対し、MをRを適切な付値で完備化したものに関し係数拡大することにより、Kedlayaの定義した、subsudiary generic radii of convergenceという不変量をとることにより、あるpolygonをえることができる。これは、都築、松田の結果により、このpolygonのslopeは、Mがregular singularityであるという事実を反映して、適当な評価ができると期待される。本年度は、twisted polynomialのlog variant、および、subsudiary generic radii of convergenceのlog variantを構成し、logなしとlog variantとの比較をし、slopeの評価を具体的に与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最終目標は、p進微分方程式の大域整数論への応用である。p進微分方程式自体がまだ未解明のことが多いため、p進微分方程式自体の理解を深める必要がある段階である。今年度は、そのp進微分方程式自体の研究を推進できたため、おおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の最終目標は、Legendre familyをはじめとする``よい''代数多様体の族Xに対し、付随するPicard Fuchs moduleを考え、``局所化''してえられるp進微分方程式を調べることで、Xのファイバーの大域的性質を調べることである。この過程における、``局所化''の部分は、計算面が整備されていないように見えるので、都築(2003)、Kedlaya(2022)などの関連すると思われる理論を使い、Legendre familyやCalabi-Yau多様体のDwork族などの具体的な族に対して計算を行う。
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| Causes of Carryover |
当初予定していた出張を、コロナ禍等の事情により、キャンセルしたため、次年度使用額が生じた。コロナ禍等の状況の変化により、当初の予定より対面形式の研究集会の開催が多く開催されている。翌年度分とあわせて、情報収集等の経費として使用予定である。
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