2023 Fiscal Year Research-status Report
Projective geometry in arbitrary characteristic and its application to fundamental algebraic varieties
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22K03236
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
古川 勝久 城西大学, 理学部, 准教授 (40648664)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 高階Secant多様体の特異点 / Veronese多様体 / 対称テンソルの分解の階数 / 任意標数の代数多様体の射影幾何学 / 高階Secant多様体の極小次数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数多様体の射影幾何研究として, Gauss写像・射影双対性などにもとづく幾何的手法や, flatteningなどの代数的手法を用い, Veronese多様体の高階secant多様体の特異点や定義イデアルの性質などについて研究を行った.
Veronese多様体の高階secant多様体のうちには, いくつか例外的な挙動をもつものがあるが, そうしたものを含めて, Veronese多様体の次元・次数やk-secant多様体の階数kに関する数値の範囲に適切な3分立を与え, k-secant多様体のある主の部分多様体に関する特異点の状況を分類した.
また, 例外のうちに著しく特別な性質をもつものとして, 本来の3分立に照らしあわせると特異点をもつはずが, その場合だけ非特異となるような高階secant多様体を発見し, それが del Pezzo 高階secant多様体と呼ばれるものになることも示した. この射影多様体は, 極小次数の次に小さい次数をもつという意味で, 先に述べた非特異性にも状況が合致し, 非常に興味深い研究対象である. その調査を進める上では, 高階secant多様体の定義イデアルに見通しのよい記述を与えることが重要となった. そのため計算機代数システムを利用した組み合わせ論的な計算アルゴリズムなども考案し, 様々な分析を重ねることで, 対象となる多様体の定義イデアルを生成する式の一部が 10 x 10 の歪対称行列のPfaffianや, 対称群の作用により, うまく記述できることなどがわかってきた.
こうした調査の一方で, 今年度の後半からは国際研究集会を開催するなどして, 海外を含めた研究者を招いての交流を進められ, アイデアや情報の交換なども活発かつ円滑に行なえた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Veronese多様体の高階secant多様体の特異点に関する3分立を完成させるうえで, secant退化や対称テンソルとしてみたときのnon-identifiabilityのような特殊な場合に対処する必要があったが, それぞれの状況を注意深く調査し, 時には従来の手法を精密化することで, 目的を達成させられた.
また, 3分立の完成によって, 先にも述べたような例外として del Pezzo 高階secant多様体となる場合を発見できたことは大きな収穫だった. また, これは斉次環の定義イデアルの minimal free resolution が Arithmetic Gorenstein となるような余次元 4 の射影多様体となるのだが, その分野では余次元 3 までは研究が進んでいる一方, 余次元 4 以上ではまだ研究は多くなく, そのような例が自然に現れたという点でも貴重といえる. こうした多様体は, 余次元 3 では定義式を記述する理論的な方法が知られている一方で, 今回は余次元 4 であるため既存の方法は確立されておらず, 計算機代数システムの利用を含め様々な方向から手探りし, その結果 Pfaffian や対称群の作用による記述に到達して構造を明らかにできた. このことは, 今後の研究を進展させる上での足がかりとなるものと期待される.
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| Strategy for Future Research Activity |
例外として得られた del Pezzo 高階secant多様体の記述については, 超曲面(余次元1)となるような場合の先行研究から Schur module などによるヤング図形を利用した表現論的な記述がなされることが期待される. これまでに得られた定義イデアルの記述をさらに分析し, 今回のような余次元4の場合について, 表現論的な記述ができないか探って行くことを計画している.
また, 今回はVeronese埋込みについて高階secant多様体の特異点の研究を行ったが, Segre埋込みやグラスマン多様体, また他の等質多様体などについても, これまでに得られた成果を応用しながら, あるいは研究手法を発展させ, 調査を進めて行きたいと考えている. 別のグループでは点のヒルベルト・スキームを用いた研究なども進みつつあるようなので, そうした方向の手法についても学び, 取り入れることも検討している.
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| Causes of Carryover |
今年度の前半は想定より研究出張がなく, 前年度からの繰越分が残った. 来年度以降に研究出張などに利用したい.
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Research Products
(4 results)
