2023 Fiscal Year Research-status Report
Relations between prehomogeneous zeta functions and automorphic forms
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22K03251
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| Research Institution | Chiba Institute of Technology |
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Principal Investigator |
杉山 和成 千葉工業大学, 情報科学部, 教授 (90375395)
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2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 概均質ベクトル空間 / ゼータ関数 / 保型形式 / Maass形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
不定値2次形式に対するジーゲル・ゼータ関数に対して、ディリクレ指標でひねったL関数の解析的性質（解析接続、関数等式）を証明し、それに対してマース形式に対するヴェイユ型逆定理を適用することでマース形式を構成した。実は、ジーゲル自身が1938年の論文の中で適切な逆定理を用いるとゼータ関数から保型形式を構成できるであろうという趣旨のことを書いていて、今回の計算はその方針に従ったものといえる。（1938年の時点では、ヴェイユの逆定理についての論文はなかった。）また、符号についてのある条件の下では、ジーゲル・ゼータ関数から正則保型形式が構成できることを確かめたが、これはジーゲル自身が1948年の論文の中で微分作用素の計算を使って証明したことと整合性がある。（1948年の論文の存在については、伊吹山知義氏からご教示いただいた。）投稿論文に対する査読者からのコメントに対応して修正をするという事を何度か繰り返していたが、今般、無事にResearch in Number Theory 誌にアクセプトされた。また、2023年度の整数論サマースクール「概均質ベクトル空間論の発展」の世話人の一人となり運営に携わったが、このような集会を開催できたことは、概均質ベクトル空間の研究の発展に大きく寄与するものと思われる。サマースクールにおいて、概均質ゼータ関数についての入門的な講義を行い、最新の結果に関する簡単な説明を含む概説記事を執筆した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ジーゲル・ゼータ関数についての論文が出版されたことは、本研究を遂行していくうえで意義がある。整数論サマースクールの報告集の中で、ゼータ関数についての最新の結果についての簡単な紹介を含む記事の執筆を担当したが、その際に改めて概均質ゼータ関数と保型形式との関連について（自分がいま取り組んでいるものだけではなく）網羅的に理解することができた。本研究課題についても新たな方向性が見えてきており、それにしたがって着実に研究を進めていきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究を継続として、概均質ゼータ関数と保型形式の関連について調べていく。整数論サマースクールにおいて、関数等式の計算の新しい知見が得られたので、それにしたがって少し計算してみたいと考えている。そのために、パソコンや数式処理ソフトの購入を検討してる。
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| Causes of Carryover |
当初の計画では、整数論サマースクールについての開催費用などに使用する予定であったが、拠出額が想定より少なくなったため次年度使用額が生じた。さらに、講義や学内の会議などの業務が想像以上に増えて、出張に行ける機会が少なくなったことも次年度使用額が生じた大きな理由の一つである。整数論サマースクールにおいて、関数等式についての新しい知見が得られてそれにしたがって色々計算するために、パソコンや数式処理ソフトの購入を検討している。また、最近、保型形式の理論などの最新の成果についてまとめたものが出版されているようなので、それらの研究資料を購入する。
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