2023 Fiscal Year Research-status Report
高次元ネヴァンリンナ理論を用いた小林・Lang予想の研究
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22K03286
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
山ノ井 克俊 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (40335295)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 双曲性 / ネヴァンリンナ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和5年度の研究実績は以下の通り。本研究課題の交付申請書に記載した通り、本研究課題の主な目的の一つは、対数的に一般型な準射影的な代数曲線は、リーマン面として双曲的である、という事実の高次元化を高次元ネヴァンリンナ理論の立場から研究することにある。よく知られているように、対数的に一般型な準射影的な代数曲線の基本群は非可換であって、線形代数群の中に忠実な表現をもつ。従来は、基本群の表現を考える際には、代数群としては標数０の体上で考えるのが、標準的であった。今回、Y.Dengとの共同研究で、準射影多様体の基本群が、正標数の体上で定義された代数群への表現を持つ状況を考察した。このような状況下で、表現がbigであり、考えている準射影多様体が対数的に一般型であれば、それは擬ピカール双曲的になること、すなわち、穴あき円板からの正則写像で、その像がある除外集合に含まれないものは、原点を超えて正則に拡張する、という大ピカール型の定理を証明することに成功した。また、表現がさらに半単純であれば、考えている準射影多様体は必然的に対数的に一般型になること、さらに強く、その準射影多様体の除外集合に含まれないすべての部分代数多様体も対数的に一般型であることを証明した。これらの結果は、非アルキメデス完備体上の調和写像の理論と高次元ネヴァンリンナ理論を用いて証明される。ここで、ネヴァンリンナ理論としては、アルバネーゼ次元最大の準射影多様体に対する、第二基本定理が重要な役割を果たす。これは、筆者が継続的に研究を進めてきたもので、本研究課題における重要なテーマである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、Y.Dengとの共同研究で、準射影多様体の基本群が、正標数の体上で定義された代数群への表現を持つ状況を考察し、表現がbigであり、考えている準射影多様体が対数的に一般型であれば、それは擬ピカール双曲的になること、すなわち、穴あき円板からの正則写像で、その像がある除外集合に含まれないものは、原点を超えて正則に拡張する、という大ピカール型の定理を証明した。また、表現がさらに半単純であれば、考えている準射影多様体は必然的に対数的に一般型になることを証明した。このような結果は、従来は準射影多様体の基本群が標数０の代数群に表現を持つ場合が考察されてきた。今年度に得られた結果は、このような枠組みを新しくすることに成功している。また、これらの結果は、対数的に一般型な準射影的代数曲線は、リーマン面として双曲的である、という事実の高次元化を高次元ネヴァンリンナ理論の立場から研究する、という本研究課題の趣旨に沿った成果であり、現在までの進捗状況としては、おおむね順調であると評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方針としては、本研究課題の交付申請書に記載した通り、アルバネーゼ次元最大の（準）射影多様体の小林擬距離の研究、およびその応用を研究する予定である。そのための研究推進方策としては、2023年度までの研究成果を大きく役立てていくことになる。具体的には、小林擬距離の研究を行う際の、単位円板からの正則写像の振舞を高次元ネヴァンリンナ理論を用いて研究する方針は、2023年度までの研究方針を引き継ぎつつ、準アーベル多様体の第二主要定理に関する、申請者のこれまでの研究成果を適時、活用して研究を実施する。
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| Causes of Carryover |
次年度以降に、ノートパソコン等を購入する予定である。また、2023年度の研究成果に基づいた、研究発表や研究打ち合わせを行うための出張費として予算を使用する予定である。次年度使用額が生じた理由の一つは、2022年度に研究が大きく進展したため、論文執筆に多くの時間をかけることとなり、出張をあまり行わなかったこと、その際に生じた次年度繰越金が、2023年度にも引き継がれたことがあげられる。この繰越金は、海外出張の際に使用することも検討している。
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