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2022 Fiscal Year Research-status Report

Geometry of Mirror Symmetry

Research Project

Project/Area Number 22K03296
Research InstitutionKeio University

Principal Investigator

金沢 篤  慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 准教授 (40784492)

Project Period (FY) 2022-04-01 – 2027-03-31
Keywordsミラー対称性 / K3曲面 / Brauer群 / 共形場理論 / BCOV理論 / 保型形式 / tt*-幾何 / 周期積分
Outline of Annual Research Achievements

Dolgachevによる格子偏極K3曲面のミラー対称性の定式化は, "偏極格子の(K3格子内での)直交補格子が双曲格子Uを含む"という条件が課されるため, ミラー対称性の完全な定式化とはなり得ないことが知られていた. 以前の研究において, 我々は対象を一般化K3曲面に拡張することでこの問題を解決し, 一般化K3曲面のミラー対称性の定式化を提案した. 鍵となるアイデアは向井格子偏極である. 本年度は特に直交補格子が双曲格子の真の定数倍U(k)のみ含む場合をさらに考察し, 幾何学的にはBrauer群の捻り, 及び非可換変形として理解できることを示した. また向井格子偏極を課した一般化K3曲面のモジュライ空間の記述をより明確にし, 共形場理論的なミラー対称性(Aspinwall-Morrison)との関係を明らかにした.

細野忍氏との共同研究において, 種数1のミラー対称性(BCOV理論の特別な場合)を援用することで, 格子偏極K3曲面のモジュライ空間であるIV型対称領域のカスプ形式を構成する新たな手法を提案した. 具体的には, 3次元Calabi-Yau多様体に関する種数1のWitten指数の位相極限公式をK3曲面に適当に適用することでBCOV公式を定義し, さらにモジュライ空間上で自然な境界条件を課すことで保型形式が得られることを多くの例で確認した. 特にClingher-Doranが研究したU+E_8+E_9偏極K3曲面に対しては, BCOV公式から井草カスプ形式が得られることを示した. 一般論を確立するまでには至っていないが, 多くの興味深い例の存在はこの新しい分野の重要性を示唆していると考えている.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

一般化K3曲面のミラー対称性の理解を深める具体的な計算を実行できたこと, 及びBCOVカスプ形式に関して論文を1本纏めることができたため. どちらも類似の研究は見受けられないことから, 先駆的な研究だと考えられる.

Strategy for Future Research Activity

一般化K3曲面のミラー対称性の理解がある程度深まったので, 3次元の場合に本格的に取り組みたい. 一般化K3曲面の自己同型群に関しても少しずつ研究を進めている. またK3曲面のモジュライ空間のtt*-幾何に関しても研究を進め, BCOV理論, 金子-Zagier理論(準保型形式)との関係も明らかにしたい.

Causes of Carryover

コロナのために海外出張が中止になった. また計算機なと物品購入を次年度に延期した.

  • Research Products

    (8 results)

All 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (3 results) (of which Invited: 3 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (2 results)

  • [Int'l Joint Research] Tsinghua University(中国)

    • Country Name
      CHINA
    • Counterpart Institution
      Tsinghua University
  • [Journal Article] Attractor mechanisms of moduli spaces of Calabi-Yau 3-folds2023

    • Author(s)
      Yu-Wei Fan, Atsushi Kanazawa
    • Journal Title

      Journal of Geometry and Physics,

      Volume: 185 Pages: -

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2022.104724

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 一般化K3曲面のミラー対称性2022

    • Author(s)
      金沢篤
    • Organizer
      第69回幾何学シンポジウム, 東京理科大学
    • Invited
  • [Presentation] Mirror symmetry for generalized K3 surfaces2022

    • Author(s)
      Atsushi Kanazawa
    • Organizer
      Calabi-Yau Manifolds and Mirror Symmetry -Past, Present, and Future-, Gakushuin University
    • Invited
  • [Presentation] Attractor mechanisms of moduli spaces of Calabi-Yau 3-folds2022

    • Author(s)
      Atsushi Kanazawa
    • Organizer
      Boston-Keio-Tsinghua Workshop 2022
    • Invited
  • [Remarks] https://sites.google.com/view/akanazawa/

  • [Funded Workshop] Aspects of Mirror Symmetry 2022,2022

  • [Funded Workshop] Calabi-Yau Manifolds and Mirror Symmetry - Past, Present, and Future -2022

URL: 

Published: 2023-12-25  

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