2022 Fiscal Year Research-status Report
Characterization of singular points and study of surface singularities
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22K03312
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
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2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 特異点 / 波面 / 特異点の標準形 / D4型特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題を達成するために波面の特異点の微分幾何学の研究を行った。波面のジェネリックなホモトピーに現れるD4特異点に対して像域の座標変換のうち、等長写像のみを許した場合の標準形に現れるモジュライを調べ、有限ジェットのモジュライをすべて記述できる標準形を得た。特異点が孤立点となる場合には従来のような退化ベクトル場を取ることができないが、複素数のベクトル場を形式上与えることによりこの問題を解決した。これは他の孤立特異点をもつような場合に応用できると思われ、有用だと思われる。また、この標準形それを用いてガウス曲率と平均曲率を調べ、それらの収束・発散にどのモジュライが影響しているかを完全に明らかにした。また、漸近線と特性線の挙動を調べ、自己交差を持つ領域上ではジェネリックにこれらの線が作る模様は一種類であることを示した。この特異点は正則曲面がガウス曲率が0でない臍点の平行曲面に現れる。そのような平行曲面がD4特異点をもつ場合に各種不変量がどのモジュライに対応しているかを明らかにした。
さらにGalvez-Martinez-Milan 型の表現公式で与えられる双曲空間内の平坦な波面に対してそれがD4特異点を持つための必要十分条件は知られていたが、微分幾何的な性質は標準形がなかったために調べる手段がなかったが、標準形を与えたことにより、モジュライの形を見ることができ、モジュライに特異点曲線の微分幾何的情報がどのくらい反映しているかの公式を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍のために今年度前半は予定していた出張がほとんど行えなかった。特に海外には行く状況ではなく、予定していた外国人研究者との黒板を挟んでの直接討論が行えなかった。ただし、後半には国内出張が何回かできた。また、RIMS訪問滞在研究「特異点特別月間」および、MSJ-SI2022が行われ、外国人研究者が何人か来日した。そのため、それらの会議に出席して必要な研究連絡を行った。また、オンラインでは幾度か研究連絡を行い、今後の課題や推進について意見交換は行えた。個人での研究に関しては同様に行うことができた。
これらにより、D4特異点に対して像域の座標変換のうち、等長写像のみを許した場合のモジュライを調べ、有限ジェットのモジュライをすべて記述できる標準形を得た。特異点が孤立点となる場合にも、複素数のベクトル場を形式上与えることにより標準形を得た。また、これを用いてガウス曲率と平均曲率を調べ、それらの収束・発散にどのモジュライが影響しているかを完全に明らかにした。また、漸近線と特性線の挙動を調べ、自己交差を持つ領域上ではジェネリックにこれらの線が作る模様は一種類であることを示すなどの結果を得た。
このように個人での研究は適切に進展させられた。また、共同研究に関しては予定していた直接討論ができなくても推進できる部分にしぼって研究することにより、研究全体としてみると、当初の予定程度には研究を進展させることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き研究課題を達成するために曲面に現れる代表的な特異点の判定法を与え、特異点の微分幾何学の研究を行う。そのために当初の計画に従い、特異点の判定法と特異点の像域の等長写像のみをもちいた標準形の研究を行う。余階数1の特異点に関してはこれまでの研究で概ね満足の行く結果が得られているので、今後は余階数2の特異点を研究する。特異点集合が横断的に交わる2な曲線となる場合はよい標準形ができたが、そのモジュライの幾何学的意味は未解明な部分が多く、様々な微分幾何的性質との関連を今後調べる。また、特異点集合が孤立点となる場合は改良の余地がかなりあり、そのモジュライについても未解明である。こちらは特異点が孤立しているので周囲の特異点の情報が扱えないため、各種の変換を見る必要があり、この観点からの研究を進める。ベクトル束の束準同型の特異点に関してこれまでの設定を拡張してさらに広い準同型を含んだ形に一般化した後、大域的に特異点がどうつながっているかを調べる。曲面上の曲線と枠を用いた可展面に関して、ミンコフスキ空間で同様のことを考えると、ホロ円が関係した線織面ができ、その不変量は与えられた枠付き曲線のホロ円的幾何学に関する情報を表す。曲面上のダルブー枠に関しては以前調べたのでこの空間内での曲面同士の張り合わせるの場合にこの研究を推進する。
福井氏と研究中の焦円錐曲線と曲率放物線の関係について交差帽子特異点だけでなく遺伝子型がv^2となる他の特異点の場合に拡張する。加葉田氏・長谷川氏と研究中の曲面の射影に現れる特異点と射影から作られる柱面の接触との関係について、射影に現れる特異点がカスプとなる場合に高次のカスプを持つ場合にまだ解明すべきことが残っている。さらにもとの曲面が特異点を持つ場合には様々な状況が重なり合い、興味深い現象が起こる。まずは高次のカスプの不変量を構成してこの研究を推進する。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のために予定していた出張がほとんど行えず、今年度は個別の研究と遠隔での議論による研究を主とし、直接の討論はコロナ感染状況が落ち着いた後で行うこととした。遠隔の機器はここまでのコロナ禍で環境がかなり整ったために整備する必要がなく、次年度使用額が生じた。今年度はコロナ感染状況が落ち着きそうであるので、コロナ禍によって滞っていた加葉田氏・長谷川氏および土田氏・寺本氏との黒板を挟んでの直接研究討論のための出張に用いて、曲面の射影に現れる特異点やベクトル束の束準同型の特異点に関する議論を行う予定である。
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