2023 Fiscal Year Research-status Report
J-準同型による球面の非安定ホモトピー群の大域構造の研究
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22K03326
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
宮内 敏行 福岡大学, 理学部, 准教授 (60452736)
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2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 球面のホモトピー群 / 回転群のホモトピー群 / 非安定ホモトピー論 / J準同型 / EHP系列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，球面の非安定ホモトピー群の大域構造を調べることである．Lie群や等質空間など様々な分野で重要な位相空間のホモトピー論的性質を研究する上で重要なものが位相空間のホモトピー群であり，その群構造を調べる上で基礎となるのが球面のホモトピー群である．
令和5年度は，ホモトピー群の生成元の構成で重要な matrix Toda bracket について，非安定ホモトピー群で特に重要になるインデックス付き matrix Toda bracket の研究を行い，球面のホモトピー群のEHP系列におけるH-準同型による matrix Toda bracket の像とP-準同型の逆像の関係式を得ることができ，それを用いて先行研究の球面のホモトピー群の matrix Toda bracket による再構成を行い，未解明であったEHP系列における生成元の情報を得ることができた．また，matrix Toda bracket には2つの型があり，これまでは片方のインデックス付き matrix Toda bracket しか構成できていなかったが，令和5年度の研究で，もう一方の型についてもインデックス付き matrix Toda bracket を構成することができた．回転群のホモトピー群による球面のホモトピー群の研究では，先行研究の球面のホモトピー群の生成元を，回転群のホモトピー群の生成元のJ-準同型の像を用いて再構成を行うことで，33以上の stem の球面のホモトピー群の構造解明につながる生成元の関係式を得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
インデックス付き matrix Toda bracket の研究によるEHP系列におけるH-準同型による matrix Toda bracket の像とP-準同型の逆像の関係式から，先行研究による球面のホモトピー群の生成元のうち他の生成元との関係性が不明であったものを matrix Toda bracket による再構成することで，他の生成元との関係が解明できた．
本研究の中心は，非安定領域における回転群のホモトピー群の生成元族を構成し，そのJ-準同型による像による球面のホモトピー群の大域構造を調べることであり，Toda bracket, matrix Toda bracket を用いて回転群のホモトピー群の生成元族の構成を行ったが，令和4年度の研究において明らかになった，回転群のホモトピー群における Toda bracket による生成元の族の構成のうち，構成できる条件が当初考えていたものより強い条件が必要となるものについて，その条件を回避する方法を模索したが，うまくいっておらず，現在も研究中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
回転群のホモトピー群の生成元族の構成は，球面上の主回転群束における球面のホモトピー群の生成元のリフトを構成することであり, Toda bracket, matrix Toda bracket とリフトの性質も考慮し Toda bracket, matrix Toda bracket の研究を行うが，Stiefel多様体.上の主回転群束も用いた回転群のホモトピー群の生成元族の構成の研究も行う，また，球面のホモトピー群の生成元によるインデックス付き matrix Toda bracket を用いた球面のホモトピー群の生成元の周期族の研究を行う．
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| Causes of Carryover |
研究計画ではタブレットパソコン，デスクトップパソコンを購入する予定であったが，価格の高騰のため，機能を併せ持つ形で，ノートパソコンを購入する予定であったが，納期が期限に間に合わない恐れがあるため，次年度での購入になった．また，例年3月に開催されている研究集会への参加を考えていたが，スケジュールの都合により研究集会が開催されなかったため，ノートパソコンの購入予定額を超えた繰越金が発生した．繰越金については，ノートパソコンの購入と，福岡大学で開催しているトポロジーセミナーの講演者招聘への使用を計画している．
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