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2023 Fiscal Year Research-status Report

点配置の距離構造に着目した極値組合せ論の研究

Research Project

Project/Area Number 22K03402
Research InstitutionShiga University

Principal Investigator

篠原 雅史  滋賀大学, 教育学系, 教授 (70432903)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 須田 庄  防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (30710206)
野崎 寛  愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
Project Period (FY) 2022-04-01 – 2026-03-31
Keywords距離集合 / 格子 / 平面上の点配置 / Erdos distances problem
Outline of Annual Research Achievements

2023年度の主な研究実績は次の2つである.
(1)d次元ユークリッド空間における k-距離集合の頂点数は \binom{d+k}{k} 以下であることが知られている.この上界の等号を満たす例のうち非自明なものは,(d,k)=(8,2) のときに Lisonek(1997) が構成した例しか知られておらず,他にこのような例があるかは未解決問題である.k=2 のときは,2-距離集合を自然に単純グラフに対応させて考えることができる.Lisonek の例は,ジョンソングラフのあるスイッチングにより得られたグラフから構成される.我々は空間を擬ユークリッド空間 R^{p,q} に拡張し、ジョンソングラフのスイッチングにより得られる 2-距離集合のうち最大の頂点数をもつものを決定した.また,同様の考察をハミンググラフに対しても行った.これら結果は,Minimal representations of graphs from the Seidel switching of the Johnson or Hamming graphs として投稿準備中である.
(2)平面上のn点集合に現れる距離の個数についてErdosにより予想された下界がある(Erdos distinct distances problem).また,Erdos-Fishburn の予想として,7以上のkに対して現れる距離の個数kが頂点数に対して十分小さいとき,その点配置は正三角格子の部分集合になるという予想がある.点配置が P_4 を含むという強い制約の下で,k=7においてその予想が正しいことを示した.この結果に関して,応用数学合同研究集会など3つの研究集会で講演を行った.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

目標とする予想の解決にはまだ遠いが,類似の予想を提示でき小さな糸口が見出せた.

Strategy for Future Research Activity

Erdos distinct distances problem について,これまでの研究により,格子との繋がりを頼りに研究を進めていくと良いだろうという手ごたえが得られた.例えば,次のような問題に取り組む.
(1)正三角格子や正方格子上の点配置に制限し,よい距離集合を特徴付ける.
(2)適切なmに対して,頂点数がkに対して十分大きく P_m を含んでいるならば,その点配置はある格子上にのることが示せないか.
(3)禁止される距離構造をもとに,適切な条件下で点配置がP_m(または同一直線上のm点)を含んでいることが示せないか.
(4)解析的整数論を用いて,各格子に関する定数と距離の個数の下界に現れる定数の関係性について理解を深める.

Causes of Carryover

研究打合せによる支出が予定よりも少なかった。その分を今年度の学会発表及び研究打合せにかかる旅費にあてる。

  • Research Products

    (8 results)

All 2024 2023

All Journal Article (3 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results)

  • [Journal Article] Embedding Dimensions of Matrices Whose Entries are Indefinite Distances in the Pseudo-Euclidean Space2024

    • Author(s)
      Nozaki Hiroshi、Shinohara Masashi、Suda Sho
    • Journal Title

      Bulletin of the Iranian Mathematical Society

      Volume: 50 Pages: -

    • DOI

      10.1007/s41980-023-00842-z

  • [Journal Article] Spherical designs and modular forms of the $$D_4$$ lattice2023

    • Author(s)
      Hirao Masatake、Nozaki Hiroshi、Tasaka Koji
    • Journal Title

      Research in Number Theory

      Volume: 9 Pages: -

    • DOI

      10.1007/s40993-023-00479-1

  • [Journal Article] On the multiplicities of digraph eigenvalues2023

    • Author(s)
      Gavrilyuk Alexander L.、Suda Sho
    • Journal Title

      Linear Algebra and its Applications

      Volume: 673 Pages: 101~137

    • DOI

      10.1016/j.laa.2023.04.008

  • [Presentation] 距離集合における格子予想と関係する小さな例について2023

    • Author(s)
      篠原雅史
    • Organizer
      数理情報科学さくらセミナー2024
  • [Presentation] 距離集合における格子予想について2023

    • Author(s)
      篠原雅史
    • Organizer
      応用数学合同研究集会2023
  • [Presentation] 距離集合に関する分類問題と格子予想について2023

    • Author(s)
      篠原雅史
    • Organizer
      2023大分宮崎整数論研究集会
  • [Presentation] よい距離集合の分類問題について2023

    • Author(s)
      篠原雅史
    • Organizer
      応用数学交流研究会
  • [Presentation] Uniqueness of the D4 root system as tight antipodal spherical {10, 4, 2}-design2023

    • Author(s)
      Hiroshi Nozaki
    • Organizer
      Sphere packings, coverings, and spherical codes
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2024-12-25  

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