2022 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of quantum chaos on sequences of growing graphs
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22K03405
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
齋藤 正顕 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (90525164)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学系, 教授 (80409614)
西郷 甲矢人 長浜バイオ大学, バイオサイエンス学部, 教授 (80615154)
杉山 真吾 日本大学, 理工学部, 助手 (70821817)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | グラフの跡公式 / Ihara zeta function / 伊原ゼータ関数 / ラマヌジャングラフ / カスプ形式 / 逆正弦則 / グラフの増大列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は次の結果を得た．(1)正則グラフの跡公式に現れる non-backtracking closed path の個数と関連する行列M_mを隣接行列の第1種チェビシェフ多項式のtraceで表した.これを用いて,行列M_mの非自明な部分である行列 a_m のモーメントの極限公式を得た.逆正弦則のモーメントと類似している. 関連して第2種チェビシェフ多項式の場合の極限公式も得た. また, Lubotzky-Phillips-Sarnakラマヌジャングラフに関係する重さ2のカスプ形式の素数冪フーリエ係数の和に関する漸近公式を得た. 併せて,素数冪フーリエ係数の母関数と伊原ゼータ関数の関係式を得た. 結果は, 以下の論文として出版された:Takehiro Hasegawa, Takashi Komatsu, Norio Konno, Hayato Saigo, Seiken Saito, Iwao Sato, Shingo Sugiyama, The Limit Theorem with Respect to the Matrices on Non-backtracking Paths of a Graph, Annals of Combinatorics (2022年11月15日オンライン出版)(2)格子上のベッセル関数の和に関する等式の拡張を得た. G. Chinta, J. Jorgenson, A Karlssonによる2015年の結果とも関連する. 結果は論文としてまとめ中である. (3)ある1次元3状態の量子ウォークモデルについて,定常状態での振幅が内部で指数関数的に減衰する十分条件を与えた. 結果は,以下で発表した: 齋藤 正顕, 瀬川 悦生, 「ドレスト光子の量子ウォークモデル: 1次元の場合」 2022年第83回応用物理学会秋季学術講演会 2022年9月22日
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
正則グラフの長さmのnon-backtracking closed path の個数N_mは,隣接行列あるいはラプラシアンの跡公式に表れるので, その漸近的な挙動を知ることは,グラフのラプラシアンやその固有値を用いて表される位相的な指数についての研究にとっても重要である.今回出版された論文によって,それが分かったことは本課題にとっても意義が大きい.また,N_mの非自明な部分をt_mとするとグラフの増大列を考えた時のt_mの極限分布についても研究が進展し,早稲田大学や九州大学IMIの研究集会で部分的な結果を報告することができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
正則グラフの長さmのnon-backtracking closed path の個数N_mの非自明な部分（N_mの誤差項）t_m の分布について調べる.併せて,グラフの増大列に関するt_mの極限分布について調べる. 数値実験や分担者との議論により,ある程度の結果とその証明の見通しは立っているが,研究打合せなどで証明の細かい部分をつめていきたい。また,特別なグラフについてt_mの分布の計算する.またt_mと関連するグラフの位相的な指数や特殊関数の性質を調べる予定である.関連して, 無限グラフ上の跡公式を検討する.これについては,部分的な結果が得られているので,論文をまとめて投稿する. 今年度, 早稲田大学や九州大学IMIで発表した内容についても研究打ち合わせして論文をまとめる.
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| Causes of Carryover |
コロナウィルス（COVID-19）流行の影響で，参加予定の研究集会がオンライン研究集会となった．また年4回程度の分担者による対面での打合せも中止となり予定していた旅費が未使用となった．次年度の使用計画は，(1)研究発表・研究打合せのための旅費，(2) 数値実験のための数式処理ソフトや計算機使用料,(3)執筆中の論文の英文校正やオープンアクセス料, (4)オンライン研究打合せ等に必要な研究環境整備（PC・タブレット等の購入やZoom契約料）により研究費を使い切る予定である．
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