2022 Fiscal Year Research-status Report
Construction of basic theory for ultradiscrete sytems with parity variables
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22K03407
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| Research Institution | Hosei University |
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Principal Investigator |
礒島 伸 法政大学, 理工学部, 教授 (90422394)
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2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 超離散方程式 / セルオートマトン / 非線形系 / 可積分系 / 相平面解析 / リヤプノフ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は「符号付き超離散(pUD)系の解析理論構築」を目指すものである．2022年度は，主に当該年度に遂行を予定していた「差分非線形バネ方程式の解を級数展開し，その主要項を調べる」研究を推進した．その結果，主要項と無限分岐を含む『不定解』の関係について，方程式に従って主要項どうしの計算を行う際に，パラメータの設定に応じて「相殺しない」「特殊な初期値の場合に相殺する」「どんな初期値でも相殺する」というケースがあり，不定解の現れ方に関係する具体例を把握することができた．しかし，超離散化は差分系の近似情報からその本質を捉えるという精神に沿った技法であり，主要項と不定解の関係を精密化していく方針には限界があることも示唆された．
また，主に2023年度の遂行を予定していた「相平面上でのある領域を別の領域へ写す写像と『粗視化して』解釈する」方法の研究が，大学院生の鈴木清一朗氏との共同研究により大きく進展した．この方法を極限周期解を持つファン・デル・ポール方程式に対して提案し，その解の一部を領域間の遷移図によって視覚化することを通し，周期軌道の存在を示すことに成功した．さらに，超離散非線形バネ方程式に対し，先行研究では大域的な把握が困難であった解を，領域間の遷移図によって視覚化し，解をより適切に分類することができた他，不定解が現れる条件も一層明確になった．これらの成果はそれぞれ論文にまとめられ，2022年度中に出版された．
加えて，リヤプノフ関数を持つという特徴がある競争型ロトカ・ボルテラ方程式の離散化に対し，時間単調性を証明できる離散的なリヤプノフ関数の候補を明示的に得るという成果を得て論文にまとめ，発表した．この研究は発展的な研究課題として研究期間4年目以降での着手を想定しているものだが，上記鈴木氏との共同研究によって予定より先行して着手することができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「符号付き超離散(pUD)系の解析理論構築」に向けて，研究は概ね順調に進展しているといえる．その理由は次の成果によっており，いずれも研究論文として発表したものである．
差分系の解の級数展開の主要項に関する研究は，さらに精密化すると原理的に主要項以外の全ての項の情報が必要になることが超離散化の精神に適合しない，という意味において限界のある可能性が示唆され，ひとつの区切りに到達した．
pUD系の「相平面上でのある領域を別の領域へ写す写像と『粗視化して』解釈する」方法については共同研究により大きく進展し，計算例の蓄積および一般化に向けた研究に進むことができる状況になった．
発展的な研究の準備として，リヤプノフ関数をもつ系の離散化に取り組み，時間単調性を証明できる離散的なリヤプノフ関数の候補を構成することができた．今後，リヤプノフ関数をもつ系の超離散化に発展させられる見込みがある．
総括すると，研究実施計画において予定していた複数の研究内容を，発展的な研究に向けた予備研究も含め，大学院生との共同研究も交えて推進し，論文にまとめて発表することができた．以上により，進捗状況はおおむね順調といえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
「符号付き超離散(pUD)系の解析理論構築」に向けて「相平面上でのある領域を別の領域へ写す写像と『粗視化して』解釈する」手法の研究をさらに推進する．具体的には，現状では例示の段階であるため，他の方程式に対しても適用し，手法の普遍性を検証するとともに新たな課題点の発見に努める．この方向性での解の表現方法を確立し，pUD系の解構造を明らかにすることを目指す．
また，同一の微分方程式であっても採用する差分スキームによって，構成されるpUD系の性質が異なってくる可能性がある．この課題についても，上記の解の表現方法を駆使して知見を得ることを目指す．具体的には，これまで研究したファン・デル・ポール方程式や非線形バネ方程式について，異なる差分スキームを採用した場合を研究し，比較検討することを想定している．
追検証などについては，ファン・デル・ポール方程式から得られるpUD系の全ての解の把握，時間単調性以外の性質にも着目した差分系リヤプノフ関数の構成の試みなどの課題が考えられるため，これらの研究を推進する．
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| Causes of Carryover |
発表論文1件のオープンアクセス化費用が当初の想定より高額になったこと，また時期が年度末となったことから，次年度使用額と2023年度分の助成金を合算して，この経費を支出する予定である．2023年度分からの支出は高額ではなく，当該年度の研究計画に大幅な変更は必要としない見込みである．
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