2022 Fiscal Year Research-status Report
Development of a foundation for discrete complex analysis
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22K18677
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
榊原 航也 岡山理科大学, 理学部, 講師 (30807772)
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| Project Period (FY) |
2022-06-30 – 2025-03-31
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| Keywords | 離散複素解析 / 離散正則性 / コーシーの積分表示 / 離散円周率 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル（離散化された積分路）に依存して定まる離散円周率を導入した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
やや遅れている点としては、現在得られている離散コーシーの積分表示は、関数値を表示する点から最も近いところを回るサイクルのみで計算を行っており、より一般的なサイクルに対する表示はまだ得られていない。この点は現在取りかかっており、概ね順調と判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
上に記したようにより一般的なサイクルに対するコーシーの積分表示や高階微分の積分表示に対応する離散版の表示公式の導出が最初の課題となる。また、平均値に関する考察や最大値原理に対する考察を順次進めていく。
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| Causes of Carryover |
予定していた出張（海外出張および国内出張）が予定通り行えなかったことによる。
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Research Products
(1 results)
