2022 Fiscal Year Annual Research Report
連接層の導来圏における変形とBridgelandの安定性条件
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21J20895
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tohoku University |
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| Research Fellow |
尾関 諒介 東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | 特性多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き特性多項式の一般化対象に関する研究を行った。線形代数で扱う特性多項式は正方行列の情報を多項式の情報として抽出する重要な道具であったが、現代ホモトピー論においては巡回K理論と呼ばれるスペクトラムから位相的制限ホモロジーと呼ばれるスペクトラムへの、TRトレースと呼ばれる射として一般化されており、K理論や関連する分野における重要な研究対象のひとつとなっている。
2010年代後半に海外の研究者らによって巡回K理論が円周圏上のあるカルテジアンファイブレーションとして得られる圏からスペクトラムの圏へのトレース性質をはじめとする諸々の条件を満たす関手からなる圏の始対象であるということが分かり、その帰結としてTRトレースが構成できていた。本年度の研究では昨年度構成した“素数pに関する円周圏”に対して同様にカルテジアンファイブレーションを定義し、2020年以降に導入された２圏論やオペラッドに関する最新の研究結果を用いて、巡回K理論がp版円周圏上のあるカルテジアンファイブレーションからスペクトラムの圏へのいくつかの条件を満たす関手からなる圏の中でも同様の普遍性を満たすことを示した。そしてその帰結として“素数pに関するTRトレース”と呼ぶべきものを構成することができた。これは既に知られているp版の位相的制限ホモロジーを値域に持ち、いくつかの仮定の下ではこの射がアルティン-ハッセ多項式と呼ばれる古典的に知られている多項式の一般化とみなせることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
先行研究で導入されていた巡回K理論の定義域に相当する圏の構成にはいくつかギャップがあり、それらを埋めるのに想像以上の時間を要してしまったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．複数の素数に関する本年度の結果の拡張を試みる。
２．巡回K理論の構成を双対可能安定無限圏にまで拡張できるか考察する。
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