2022 Fiscal Year Annual Research Report
quantum groups and K-theory
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21J21283
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
北村 侃 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子群 / 作用素環 / 量子ダブル / K理論 / Baum-Connes予想 / 格子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ひきつづき、局所コンパクト量子群とよばれる、作用素環の言葉で記述される量子群や、その作用について調べている。本年度ではこれらについて以下のことが分かった。
まず、部分的にポントリャーギン双対をとることで得られるような局所コンパクト量子群のペアについて、両者のC*環への作用の間によい双対性があることを示した。これはTakesaki-Takai双対性やBaaj-Skandalis双対性として従来より知られていた主張の一般化である。この双対性は同変Kasparov理論の間の圏同値を与えている。特に興味ある場合として、量子ダブルという構成法からくるケースがある。このような量子群の作用を持つC*環に対しては捻られたテンソル積を考えることができる。このとき、上の双対性がこの捻られたテンソル積から誘導されるモノイダル構造を保つことが分かった。また、以上の結果を量子ダブルに関するBaum-Connes予想の類似に応用した。それとともに、コンパクト半単純リー群からgraded twistingという構成で得られる量子群の旗多様体について、量子ダブルの作用に関する同変Kasparov理論を決定した。
以上のものとは別の結果として、複素半単純リー群のq変形にあたる局所コンパクト量子群の離散量子部分群を分類した。また、その帰結として、複素半単純リー群のq変形は商空間が有限不変測度の類似を持つような離散量子部分群を持たないことが分かった。これは古典的なリー群が格子をもつこととは対照的な状況である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
部分的にポントリャーギン双対をとることで得られるような量子群のペアについては、年度開始時に期待していたC*環への作用の間の双対性を満足のいく形で示すことが出来た。また、複素半単純リー群のq変形の離散部分量子群の分類については当初想定していなかった方向性での結果である。以上を考慮してこの評価とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
コンパクト量子群の場合には、部分的なポントリャーギン双対は両者の表現圏の森田同値を与える。名古屋大学の荒野悠輝氏や京都大学の窪田陽介氏と議論を重ね、テンソル圏の作用を持つC*環についての同変なKasparov理論を構築することで、この双対性やBaum-Connes予想に対する新たな視点が与えられるだろうと期待している。
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Research Products
(7 results)
