2021 Fiscal Year Annual Research Report
アファインDeligne-Lusztig多様体とその応用
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21J22427
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
島田 了輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | アファインDeligne-Lusztig多様体 / Langlands対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究ではまずGL3の場合にアファインDeligne-Lusztig多様体の集合としての性質を調べた。その結果アファインDeligne-Lusztig多様体が特に単純になる場合を特定した。この結果を元にGLnに対するアファインDeligne-Lusztig多様体でも同様の単純な幾何構造が起こる場合を特定することを試みた。その結果アファインDeligne-Lusztig多様体を定めるパラメータの有限部分がCoxeter元であるという条件の下で、こうした単純な幾何構造が誘導されるということを発見した。GL3の場合においては、この条件は上で述べたアファインDeligne-Lusztig多様体が特に単純になる場合全てを復元する。さらにこの条件は一般の簡約代数群Gに対しても適用可能であり、さらに一般の場合を考察するに際しても有効である可能性が考えられる。こうした単純な幾何構造はアファインDeligne-Lusztig多様体のコホモロジーを調べるに際して必要で、今後の展開としてはコホモロジーに関する結果も期待できる。
さらにGL3の場合の結果はアファインDeligne-Lusztig多様体の既約成分のパラメータ付けと具体的構成に関する結果を含む。これはより一般の場合を考察するにあたって重要な例となる。一般にアファインDeligne-Lusztig多様体の既約成分の集合は結晶基底によりパラメータ付けされることが知られており、この定理と以上の結果を比べることも重要である。なぜなら各既約成分の具体的構成は一般には未知である一方、GL3の場合には申請者の結果により既知であると言えるからだ。これもまた一般の場合への考察へ重要な示唆を与える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
GL3の場合からGLnの場合に関して予想を立て、それを証明するという流れは当初の計画通りである。一般の場合に通用する条件を見つけるという部分が難しいところであったが、その点も達成したと言える。よって本研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続きアファインDeligne-Lusztig多様体の具体的な幾何学的構造を導出する研究を行う。方針としては、既約成分の具体的構成に着目して研究を進めていこうと考えている。
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