2022 Fiscal Year Annual Research Report
アファインDeligne-Lusztig多様体とその応用
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21J22427
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
島田 了輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | アファインDeligne-Lusztig多様体 / 志村多様体 / Langlands対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も引き続きアファインDeligne-Lusztig多様体の幾何学に関する研究を行った。今年公開した成果としては(1)その単純な幾何構造に関するものと(2)既約成分と結晶基底の関係に関するものとがある。(1)ではGLnの場合の一部で単純な幾何構造が誘導されるための条件を発見し、実際に誘導されることを証明した。その後この結果は一般の場合でも類似の事実が成立することがHe-Nie-Yuにより証明された。アファインDeligne-Lusztig多様体が単純な幾何構造を持つ場合は多くの応用があり、今後の展望としてはそうした応用の考察が考えられる。具体的には例えばその場合のコホモロジーを用いた局所Langlands対応の実現があり、これは本研究の目的であった。(2)ではGLnのsuperbasicと呼ばれる場合でアファインDeligne-Lusztig多様体の各既約成分を対応する結晶基底から構成する方法を発見し、証明した。アファインDeligne-Lusztig多様体の既約成分の集合は結晶基底と自然に全単射になることが知られており、対応する結晶基底とはこの全単射で対応するものである。各既約成分を対応する結晶基底から構成するGLnの場合のこの結果の類似もより一般の簡約代数群に対して成立する可能性があり、今後の展望としてそうした方針も示唆される。またこうした結果は志村多様体のコホモロジーに関する予想(Tate予想)への応用の実績があるため、それが一般に得られればこれまで知られている場合以外でも同様の応用を行えると考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究ではアファインDeligne-Lusztig多様体の幾何構造を究明し、その応用としてLanglands対応を実現することを目指すものである。現在までに単純な幾何構造を誘導するような条件を発見しており、さらに既約成分の構成に関する重要な示唆も得られているため、本研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は単純な幾何構造が誘導されるための必要十分条件を見つけることと一般にアファインDeligne-Lusztig多様体の既約成分を構成する方法を見つけることを試みる。それらを用いてコホモロジーを計算しLanglands対応を実現するという部分については他の研究者によって研究が進められている様子があるため、今後本研究では主に幾何構造に集中していきたいと考えている。
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