2023 Fiscal Year Annual Research Report
アファインDeligne-Lusztig多様体とその応用
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22KJ0684
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
島田 了輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2023-03-08 – 2024-03-31
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| Keywords | アファインDeligne-Lusztig多様体 / 志村多様体 / Rapoport-Zink空間 / Langlands予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究成果としてはアファインDeligne-Lusztig多様体(ADLV)の(1)その単純な幾何構造に関するものと(2)既約成分と結晶基底の関係に関するものとがある。(1)に関して、まず有限Coxeter型のADLVを導入しそれが単純な幾何構造を持つことをGLnの場合の一部で証明した。その後一般に有限Coxeter型のADLVが単純な幾何構造を持つことがHe-Nie-Yuにより証明された。最終年度ではSchremmer氏とYu氏との共同研究でpositive Coxeter型という有限Coxeter型のADLVを導入し、それが単純な幾何構造を持つことを証明した。また逆にそうした「単純な幾何構造」を仮定すると自動的にpositive Coxeter型となることも証明した。よってこの条件はこうした単純な幾何構造を誘導する条件としては完全なものである。こうした結果はADLVのコホモロジーを調べ、局所Langlands対応を実現するような研究につながると考えられ、これは本研究が目標することの一つであった。さらにこの結果に関連して、特に志村多様体のbasic locusを詳細に調べる研究も行った。これらの結果は従来Coxeter型と呼ばれていた場合の一般化にあたり、志村多様体がLanglands予想において重要な役割を果たすことを鑑みれば、これらもLanglands対応の実現に繋がっていく成果だと言える。(2)に関して、superbasicと呼ばれる場合でADLVの各既約成分を対応する結晶基底から構成するという研究成果がある。さらにその応用としてADLVにおけるJ-str.とEO-str.という二つの異なるstratificationを比較するという研究を行った。その結果前者が後者の細分を与えていることがpositive Coxeter型であることと同値であることを証明した。
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