p-進群のtypeの理論とその応用

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 22J22712
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 小原 和馬 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2022-04-22 – 2025-03-31
• Keywords: Hecke環 / 局所Langlands対応 / p-進群 / 群の表現論 / 整数論

Outline of Annual Research Achievements

本年度はさまざまなtypeに付随するHecke環の記述に関する研究を行った．特に放物型誘導で構成されるtypeに付随するHecke環と，coverの理論を用いて構成されるtypeに付随するHecke環との間に明示的な同型写像を構成し，この同型写像がそれぞれのHecke環のアフィンHecke環を用いた記述と整合的であることを証明した．この結果の応用として，放物型誘導の可約点を，有限簡約群の表現論に現れるパラメータを用いて記述するという結果も得た．この結果は，typeの理論やHecke環の計算を用いることでp-進群の表現論の理解を深めるという，本研究の目的の一つの例となっている．また，それぞれの種類のHecke環について，その詳細な記述を用いることで局所Langlands対応を特定の場合に明示的に記述する研究もいくつか知られていることから，本結果と合わせることでより広いクラスの群や表現に対して，局所Langlands対応を記述することができると期待される．この結果はすでにプレプリントとして公開済みであり，ジャーナルにも投稿済みである．
また，本課題の主要な目的の一つである，Kim-Yu typeに付随するHecke環の記述についての研究も進行中である．深度0のHecke環の記述で構成されるHecke環の基底と同様の構成を，Kim-Yu typeに付随するHecke環においても行うことで，Kim-Yu typeに付随するHecke環についても，深度0のHecke環と類似の生成元と関係式による記述を得ることができた．最終的にはKim-Yu typeのHecke環と特定の深度0のtypeに付随するHecke環との間の同型を得ることを目標としている．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

放物型誘導によるtypeの構成とcoverの理論を用いたtypeの構成は，現在知られているtypeの構成の中で最も研究の進んでいるものであり，それらのHecke環についても様々な結果が知られている．本年度は一般的な状況においてこれらのtypeに付随するHecke環の間に明示的な同型を構成し，それぞれのHecke環について記述が知られている場合について，この同型がそれらの記述と整合的であるという結果も得た．この結果はtypeの理論を用いてp-進群の表現論を理解すると言う目標のためには必要不可欠な第一歩である．
また，Kim-Yu typeに付随するHecke環の明示的な記述を得るという目標についての研究も着実に進んでいる．

Strategy for Future Research Activity

Kim-Yu typeに付随するHecke環がある深度0のtypeに付随するHecke環と同型であると言う結果を証明することを目標とする．その後はKim-Yu typeに付随するHecke環と放物型誘導で構成されるtypeに付随するHecke環の記述の比較に関する研究も行う．また，これらの結果を用いることで局所Langlands対応を深度0の場合に帰着するという方向の研究も行う．