2022 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
21J00299
|
|---|
| Allocation Type | Single-year Grants |
|---|
| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
|---|
Principal Investigator |
榎本 悠久 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(PD)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
|
| Keywords | 加群圏 / Grothendieckモノイド / 自己直交加群 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究実績は、以下の3つの主題からなる。
1つ目の研究では、名古屋大学の齋藤峻也氏との共同研究で、extriangulated圏のGrothendieckモノイドを調査し、それに関連するいくつかの新しい結果を得た。特に、Serre部分圏とdense 2-out-of-3部分圏の分類に成功し、また良い状況下で、extriangulated圏の局所化のGrothendieckモノイドが元のGrothendieckモノイドの自然な商モノイドと同型であることを示した。これにより、アーベル圏のSerre商と三角圏のVerdier商の場合も含まれる。具体例として、アーベル圏とその1シフトの間に位置する中間部分圏を導入し、それがアーベル圏内のねじれ自由類と一対一に対応することを示した上で、中間部分圏のGrothendieckモノイドを計算した。
2つ目の研究では、名古屋大学の酒井嵐士氏との共同研究で、加群圏内のIE閉部分圏（像と拡大で閉じた部分圏）に注目し、その性質を調査した。特に、IE閉部分圏とねじれ対の関係を解明し、IE閉部分圏を用いてτ-tilting有限代数を特徴づけることに成功した。また、双子剛加群の概念を導入し、それを用いて遺伝的代数の場合に双子剛加群でIE部分圏の全単射を示し、計算する方法を提案した。
3つ目の研究では、有限射影次元の傾加群の一般化として、射影的若松傾加群を導入し、自己直交加群との関係を示した。特に有限表現型の場合、任意の自己直交加群が射影的若松傾加群に埋め込めることを示し、射影的若松傾加群、若松傾加群、極大自己直交加群、および代数と同じランクを持つ自己直交加群が一致することを証明し、これにより有限表現型代数が弱Gorenstein性なことの別の証明を与えた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
部分圏の分類問題を扱うという本研究において、今年度もいくつか重要な進展があった点において、概ね順調といえる。具体的には、extriangulated圏のSerre部分圏やdense-2-out-of-3部分圏を不変量を用いて分類することができた上に、またIE閉部分圏という新しいクラスの部分圏について、ねじれ類との関係が明らかになった上に、遺伝的代数上では、射影対象・移入対象を用いて分類することもできた。
さらに、自己直交加群についての進展は、本来は予想していなかった新しい成果である。自己直交加群は、それに付随して加群圏の部分圏ができることから、以前から興味を持っていたが、今年度の結果は、有限表現型の場合にそれを完全に（原理的には）列挙する方法を与えており、これを用いて、加群と付随する部分圏についての計算実験が可能となった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
加群圏の部分圏について、包括的に扱うためのプログラムを開発し、それを用いた実験をもとに、その個数や性質について、計算機の補助のもとに解明を行うことを目標とする。具体的には、ねじれ類のある種双対的な概念として、余ねじれ類というものがあり、これは拡大と直和因子で閉じた部分圏のうち、環を含むような部分圏と密接に関連している。このクラスの新しい部分圏については、まだ体系的な研究が行われていない。しかし、有限表現型の場合には、原理的には計算機でそれらを求めることができるため、それを用いて、一般論の構築を目指す。
さらに、より条件を弱めた、拡大と直和因子で閉じた部分圏というとても広いクラスの部分圏の構造についても興味を持っている。この研究を、先程の、環自身が含まれる場合に帰着することを考えたりして、有限表現型の場合に全て列挙するアルゴリズムを開発することを目標とする。
また、拡大で閉じるという条件を外すことも考える。これは、環のエピモルフィズムに付随して出てくる部分圏のように、自然に現れる部分圏である。今までは部分圏の研究はほとんどが拡大で閉じることを仮定したものであったが、この条件を外すにあたり、適切な帰着方法や圏論的な手法を考案し、統一的に扱う方法を考案することを目指す。
|
Research Products
(8 results)
