2022 Fiscal Year Annual Research Report
多変量解析に関する特異ランダム行列の固有値分布論の新展開
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22J11185
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
清水 康希 東京理科大学, 理学部, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2022-04-22 – 2024-03-31
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| Keywords | 特異ウィシャート分布 / ランダム行列 / 超幾何関数 / ゾーナル多項式 / ジャック多項式 / Stiefel 多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
変数の数がサンプルサイズを上回る状況で，球形検定と呼ばれる分散共分散行列に関する検定問題を扱った． 球形検定は古くから研究されており，通常，尤度比統計量の漸近分布を利用した検定が行われる．しかし，変数の数がサンプルサイズを上回る場合，標本共分散行列が特異行列になるため，尤度比統計量の構成が行えない. 本研究課題では，特異ウィシャート行列の最大固有値と最小固有値の比を新たな統計量として提案し，この統計量の正確分布の導出を行った. さらに，正確分布の数値計算を行うために，ゾーナル多項式の積をゾーナル多項式の線形和で展開するアルゴリズムを提案した．関連研究として，多変量分散分析の代表的な統計量であるRoyの最大固有値統計量を扱った．Royの統計量は，帰無分布に対しては効率の良い正確計算法が知られている．一方，対立仮説のもとでの分布に関しては，近似分布が知られているが，変数の数が大きくなるにつれ近似は悪くなる．本研究では，特異ベータ行列の固有値の同時密度関数から対立仮説のもとでのRoyの最大固有値統計量の分布を導出し，ゾーナル多項式の積計算アルゴリズムを使って分布の正確計算が行えることを示した.さらに，非心行列のランクが1の場合において，組み合わせ論で有名なPieriの公式を用いた効率の良い正確計算法を提案した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
概要で述べた通り，多変量正規分布の母数の検定問題に関して，検定統計量の正確分布を導出することができた．さらに，分布の数値計算を行うのに必要なアルゴリズムを提案し，導出した正確分布の有効性や実用性を明らかすることができた．これらの成果を論文としてまとめることができたため，本研究課題の進捗状況は「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
変数の数がサンプルサイズを上回る状況において，多変量解析におけるランダム行列の固有値分布の導出を引き続き行う．特に，2023年度は近似分布の導出に焦点を当てて研究を進める予定である．近似分布の妥当性を検証するためには，モンテカルロシミュレーションを通じてパーセント点の数値評価を行う．関連研究の動向を把握するために学会に積極的に参加し，意見交換や情報共有を行いながら研究を発展させていく．
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