2021 Fiscal Year Annual Research Report
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21J00567
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
小林 稔周 明治大学, 明治大学, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Keywords | 可換環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1)Burch部分加群について
本項目はSouvik Dey氏との共同研究に基づく。Tor群の非消滅を与えるために、Burch(1968)が考察したイデアルの条件を一般の加群の部分加群にまで拡張した。得られた条件を満たす加群をBurch部分加群と呼び、その基本的性質を調べた。Burch部分加群の中でも特に、弱m-full加群や極大イデアルとの積の形をとる加群については、Burchの原結果より強く、Tor群のある項の消滅が加群の射影次元の有限性を導くことを示した。またその応用としてHuneke-Wiegand予想に取り組んだ。本研究では、局所環においてその極大イデアルの有限直和から極大イデアルの正準双対への線形な全射が存在するという条件を考え、この条件の下でHuneke-Wiegand予想の成立を示した。我々の結果はHuneke-Iyengar-Wiegand(2019)のものを拡張している。我々はまた、数値半群環に対して先の条件の判定法を与え、いくつかの非自明な例を構成した。
(2)トレースイデアルについて
本項目は神代真也氏との共同研究に基づく。イデアルの同型類を調べることは可換環論の古典的な問題である。Greuel-Knorrerの結果から、穏当な仮定の下、イデアルの同型類の有限性は丁度環が有限CM表現型であることと対応する。このことを拡張するために我々はトレースイデアルに注目した。すなわち、我々はトレースイデアルの同型類の集合がいつ有限となるかという問いに取り組んだ。穏当な仮定の下、トレースイデアルの同型類の集合の有限性を整閉イデアルに関する条件によって与えた。整閉イデアルは本質的に有限個のみ存在するため、具体的環に対する条件の判定は容易である。実際に我々は可算無限個の非自明な例を構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Burchイデアルに関する先行研究として、Dao氏、高橋氏と共に得ていた結果を加群に拡張することができた。これにより、関連する研究を行うための十分な知見が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
我々が昨年度までに行ったBurch環へのアプローチをGolod環などの他の重要な可換環に対し行い、部分圏分類などの結果を得ることを目指す。
この研究において、名古屋大学の高橋亮氏と緊密に情報交換を行い、理論の精密化を図る。
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Research Products
(2 results)
