2013 Fiscal Year Annual Research Report
数論における幾何・トポロジーの新展開とアルゴリズム
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23244002
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 眞 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70231602)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 数論的基本群 / モジュライ / 数論幾何 / 国際情報交換（アメリカ） / 国際情報交換（オーストラリア） |
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| Research Abstract |
研究代表者は、オーストラリアJosep Dick准教授との共同研究で、準モンテカルロ法において重要な(t,m,s)-ネットのt値を、離散フーリエ変換を用いて高速に計算するアルゴリズムを開発した。論文は出版済みである。また、積分誤差を評価するWalsh figure-of-merit (WAFOM)の値が小さい点集合が存在することを芳木氏と示した。論文は出版済みである。研究代表者は、米国Duke大学Richard Hain教授と一点抜き楕円曲線の基本群から得られるモチーフについて論文を執筆中である。
連携研究者玉川氏は、フランスEcole PolytechniqueのAnna Cadoret准教授との共同研究で、代数曲線X/kの数論的基本群のl進線形表現を一つ固定すると、Xのk有理点xに対応するガロア群の像が有限個の素点を除いて表現の像の中の開部分群となり、その指数は上から表現のみによる定数でおさえられることを、表現の像がLie perfectという条件のもとで示した。成果はDuke Math Journalに発表されている。
本課題により、7月に広島大学で整数論集会、3月に広島大学で分岐被覆国際集会を開催した。連携研究者古庄氏は3月日本数学会において、代数学賞受賞記念特別講演「アソシエータとその周辺」を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
代数の応用として、準モンテカルロ積分点集合に関して研究代表者らが導入したWalsh Figure of Merit(WAFOM)が、数値積分で有効であることを実験で確かめた。さらに、WAFOMをよくする点集合の存在を証明した。Josep Dick氏との共同研究により、(t,m,s)-netのt値を求めるアルゴリズムを開発した。離散フーリエ変換を使って高速に実現できたため、ランダムに選んだ点集合に対し、t値とWAFOMのどちらが良い指標であるかの比較実験が可能となり、スムースな被積分関数に対してはWAFOMの優位を実験的に示すなどの大きな成果があがった。
連携研究者玉川氏は、Cadoret氏との共同研究で、数論的基本群の線形表現におけるガロア像の一様なバウンドを示した。連携研究者星裕一郎氏は、数論的写像類群のpro-l基本群への作用の像とガロア像とのかい離について、素数lに依存して大きく異なるということを示し、線形表現と基本群の外部自己同型表現の振る舞いの違いを明らかにし、新たな視野を広げた。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数的・幾何的アルゴリズムについては予想以上のものが開発された。すなわち、有限体から構成されたデジタルネットに対し、そのｔ値を高速に計算できるようになったため、従来は困難だったランダムサーチによるｔ値の小さい点集合の探索や、ｔ値の良さとWAFOMの良さのどちらが積分誤差と強い相関を持つかといった実験を行うことができた。
数論的基本群の表現に関しては、星裕一郎氏らにより素数lへの依存性が観察されている。モチーフ論的に構成できる対象については、ランクなどは素数に依存しないはずであるため、このような現象とモチーフ論がどのような関係にあるのかを明らかにしていきたい。
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