2014 Fiscal Year Annual Research Report
非線形偏微分方程式の背後にある確率論的構造と確率論的な摂動による解構造の変化
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23340030
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
名和 範人 明治大学, 理工学部, 教授 (90218066)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
福泉 麗佳 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (00374182)
坂上 貴之 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10303603)
松本 剛 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (20346076)
吉田 伸生 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (40240303)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 確率微分方程式 / 非線形シュレーディンガー方程式 / 爆発解 / 重対数法則 / 乱流 / 非圧縮性オイラー方程式 / 散逸的弱解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
グループAでは，非線形光学や超流動などのモデルである，非線形シュレーディンガー方程式の解の構造を探求した。超流動モデルにおいては，確率摂動がある場合に初期値を渦点とした解が摂動の大きさと比較してどの程度の時間まで渦の形状を保つかを線形化作用素の解析と保存量を組み合わせて評価し，その評価が最適であることを数値計算を援用して確認した。非線形光学のモデルでは，ビームの自己集束を記述する爆発解の爆発速度を解の背後にあるネルソン拡散過程を用いて評価することに成功した：ブラウン運動の重対数法則として知られる振る舞いが爆発速度には現れている。下からの評価は一般的であるが，上からの評価は爆発解の形状に強く依存するようであるが，方程式に陽に確率論的な項がなくとも，背後に潜む確率過程の性質が解の性質に反映されていることが数学的に証明されたことは重要である。
グループBでは，乱流や高分子や人口分布などのモデルにおける動的な分布に関した解析を行った。高分子や人口分布はランダムな外力を伴った非線形偏微分方程式の解析に密接に関係しており，乱流のをこのようなモデルを作って探求する研究も行われている。しかしながら，このモデルで記述される流れ場は，オンサーガー予想で言明された乱流の性質とは異なるようである。一方で我々は，オンサーガー予想とコルモゴロフ予想を確率過程論的な立場から見直すことによって従来の乱流理論を再構築する試みを続けてきた。近年，発展著しい非圧縮性オイラー方程式の散逸的弱解のある族が数学的な乱流のサンプルの有力な候補であり，この方程式には陽に確率論的な項は含まれていないが，集団として特徴的な期待すべき統計的な性質を示すように思える。そこでギブス測度の構成可能性について数値的な検証も行った。この結果を招待論文として投稿したものが査読を終えて現在改訂作業を行っているところである。
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| Research Progress Status |
27年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
27年度が最終年度であるため、記入しない。
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