2013 Fiscal Year Annual Research Report
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23340033
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
千原 浩之 鹿児島大学, 理工学研究科, 教授 (70273068)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮嶋 公夫 鹿児島大学, 理工学研究科, 教授 (40107850)
伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学研究科, 准教授 (60381141)
筧 知之 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (70231248)
小野寺 栄治 高知大学, 自然科学系, 准教授 (70532357)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 分散型写像流 / バーグマン変換 |
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| Research Abstract |
平成25年度の研究代表者の研究活動を中心に述べる。
研究分担者 小野寺栄治（高知大学）との共同研究により、ケーラー多様体上の閉じていない曲線の運動を記述する4階分散型写像流の方程式の初期値問題の解法に関する論文をまとめて学術雑誌へ投稿した (arXiv:1308.5542)。一般にこの種の方程式では方程式の階数が高くなるほど解の一意性を示すことが難しくなっていくが、本論文では「誘導束の断面に作用する擬微分作用素のゲージ変換を施した後で、ナッシュの等長埋込みを経由して2つの解の差をとることにより、偏微分方程式論の通常の手法に帰着できる」という比較的汎用性があると思われるアイディアを提供することが出来たことが最も重要な成果であると思われる。
同じ4階の方程式でも閉曲線を考察することは、偏微分方程式論で言う平滑化効果のないより困難な場合を考察することになる。研究代表者はこの問題に対応するある種の線型偏微分方程式系の初期値問題の適切性の特徴付けを与えて、リーマン面の場合の分散型写像流に応用した。より具体的には閉曲線に沿う動標構を構築して方程式を書き直し、線型方程式系の結果を利用することにより、写像流の方程式の初期値問題が解けるのは標的リーマン面が定曲率空間である場合にほぼ限られることを解明した。この結果も論文にまとめて投稿中である (arXiv:1309.5293)。
非可換調和振動子とよばれるある種の線型常微分方程式系について、バーグマン変換とよばれる複素数値相関数をもつある種のフーリエ積分作用素を通じて考察を進めている。ある場合には従来の手法に比べて生成・消滅作用素を求めるのが極めて簡単になることがわかった。そこで、このアイディアを発展させて別のフーリエ積分作用素のような積分変換を導入して、この微分作用素系の種々の性質を解明する研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、分散型写像流の幾何解析、および、バーグマン変換等の手法を用いた超局所解析等の発展の2つを研究対象としているが、両方の課題について一定の成果が得られている。さらに、現在進行中の課題もあり、研究集会等で収集した情報に基づく新しい課題も得られているので、研究活動は概ね順調であると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度は最終年度であるが、研究代表者個人の活動としては、バーグマン変換やその周辺の話題について、現在進行中の課題や、これから取り組みたいと思っている課題について集中して取り組む。研究組織全体で見ると、分散型写像流の初期値問題の解法の研究に関して1つ懸案が残っているが、筆者の今年度投稿した線型偏微分方程式系の初期値問題の適切性と分散型写像流の方程式の構造の解明の結果を参考にして、何とか研究期間内に解決を図るべく分担者らと取り組みたい。
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Research Products
(19 results)
