2011 Fiscal Year Research-status Report
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23540033
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
村瀬 篤 京都産業大学, 理学部, 教授 (40157772)
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2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流 / ドイツ：オマーン |
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| Research Abstract |
１．Dを有理数体上の定符号四元数環とする。荒川リフトとは、GL(2)とDの乗法群の積上の保型形式 (f, g) のテータリフトとして与えられるD上の２次ユニタリ群G上の保型形式F(f, g)である。Gに付随する対称空間は、複素構造を持たないが、Gは正則離散系列表現によく似た特性を持つ離散系列表現（四元数的離散系列表現）を持つ。連携研究者の成田宏秋氏（熊本大）は、荒川リフトに対応するアデール群G(A)の表現の無限成分が四元数的離散系列表現であることを発見した。多変数保型形式の整数論においては、正則保型形式の場合を除いて、保型形式の様々な不変量（フーリエ展開係数や周期など）およびそれらと保型L関数の関係については、あまり研究が進んでいない。その意味で、D上の２次ユニタリ群G上の保型形式の不変量を精密に研究することは意義が深い。平成２２年度までに、研究代表者と成田氏は、(f, g) がHecke作用素の固有関数ならば、荒川リフトF(f, g)もHecke作用素の固有関数であること、また、F(f, g)のフーリエ展開係数が、(f, g) の周期として表されることを示した。 平成２３年度に行われた研究代表者と成田氏の共同研究において、Waldspurgerの結果や研究代表者の結果を援用することにより、さらに次のことが示された。すなわち、F(f, g)のフーリエ展開係数のある種の平均の絶対値の平方は、(f, g) を展開項に対応する２次体の指標で捻った保型L関数の中心値として表される。２．研究協力者のB.Heim氏（ドイツ工科大（オマーン））とHilbert保型形式の場合の、Borcherds liftの積対称性を証明した。これは、平成２２年度以前に行った共同研究で示されていた、階数２の直交群O(2, n+2)の場合のBorcherds liftの積対称性の類似である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多変数保型形式の数論的不変量と保型L関数の関係を究明するという目的について、四元数環上の２次ユニタリ群上の保型形式の場合に考察を進めており、現在のところ、荒川リフトの場合は、フーリエ展開係数についてかなり精密な結果を得ることができた。この結果を用いて、一般のG上の保型形式について、フーリエ展開係数の知見を深めることができると思われる。また、Borcherds liftの積対称性の研究も、Hilbert保型形式の場合に達成することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
四元数環上の２次ユニタリ群上の一般の保型形式のフーリエ展開係数と保型L関数の特殊値について、精密な予想を得ることを目指す。これは、２次ジーゲル保型形式の場合のBoecherer予想の類似にあたるものと考えられる。また、予想の実験的検証をコンピュータを用いて行う。また、Borcherds liftについては、積対称性によってどの程度特徴づけられるのかを考察する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
１．連携研究者の成田氏および研究協力者のHeim氏と研究連絡を行うために、国内出張（熊本大）および国外出張（オマーン、ドイツ）を行う。２．研究成果発表のために、国内出張（北海道大など）および国外出張（オマーン、ドイツ）を行う。３．整数論関係の図書の整備を行う。４．実験的研究および研究発表のため、高性能なパソコンを購入する。また、関連するソフトウエアを購入する。
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