2011 Fiscal Year Research-status Report
幾何解析を用いたＷｅｉｎｇａｒｔｅｎ超曲面の構成の研究
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23540069
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
岡安 隆 茨城大学, 教育学部, 教授 (00191958)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柳田 伸顕 茨城大学, 教育学部, 教授 (20130768)
古田 高士 富山大学, 理工学研究部, 准教授 (40215273)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2013-03-31
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| Keywords | 極小超曲面 |
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| Research Abstract |
今年度はユークリッド空間と双曲空間内に高い対称性をもった完備極小超曲面を構成することについて研究を行った．ユークリッド空間内に一般化した回転極小超曲面を構成する研究については，E. Bombieri, E. De Giorgi と E. Giustiによる記念碑的論文「Minimal cones and the Bernstein problem」において，直交群の直積で不変なものが初めて構成された．彼らは弧長で表示された平面曲線を母線とする，直交群の直積で不変な一般化した回転超曲面が極小超曲面であることを，x,yについての常微分方程式系で表し，相似拡大によって極小であることが不変であることを用いて力学系の方程式に変換し，その解曲線の挙動を解析することにより大域的な解の存在を証明した．今年度の研究は彼らの構成をその他のcohomogeneity=2 の表現について拡張したものであるとともに，Bombieri達の証明法と全く違う方法をとることにより，非常に簡単に大域的な解の存在を示すことができた． 主結果 正規直交群の部分群でcohomogeneity=2 の各表現に対して，それにより不変な完備極小超曲面をユークリッド空間に構成することができ，しかも合同でないものが無限個作れる． 証明の鍵は，体積の変分問題の解が極小部分多様体であることを用いて，母線のパラメータを自由なものにすることにより変分方程式の解が自然に第一積分をもつようにした点である．その第一積分を用いて，変分方程式を同値であるがより簡単な微分方程式に帰着させることができた．得られた微分方程式の大域的な解の存在は，Y. C.Chen と L. Y. Tsai の2005年の論文から直ちに示すことが出来る．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画の目的のひとつが，ユークリッド空間内に完備なWeingarten超曲面を構成するというものであった．それに対し今年度は，ユークリッド空間内に新しい完備極小超曲面を構成できるという結果を得，それに関して学会発表を行い，さらに湯沢小研究会で招待講演を行った．このタイプの極小超曲面については，岡安自身の1999年度～2000年度の基盤研究（C)で得られたものしか知られていず，まったく新しい発見である．以上により，順調に進展していると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き，双曲空間の中に完備極小超曲面を構成する研究を行う．これについては木村真琴氏（茨城大学理学部）による先行研究がある．直交群の直積により不変な完備極小超曲面が構成されている．我々はその他のcohomogeneity=2の表現について不変な完備極小超曲面の構成について理論を完成したい．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本年度はルーマニアで行われた国際研究集会に出席する予定であったが，会議が10月にずれ込み，かつ，震災の影響で当初支出を控える必要があり，出張を中止した．その繰越分も込めて次年度8月にベルギーで開かれる部分多様体の国際研究集会に出席して最新の知見を入手し，さらに講演を行いたいと考えている．また，本年度に引き続き，偏微分方程式等の専門書を入手する．数理解析研究所で行われる部分多様体についての研究集会に出席して研究打ち合わせを行う．また，湯沢小研究集会に出席して他の研究者と検討，討論を行う．
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Research Products
(2 results)
