2012 Fiscal Year Research-status Report
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23540085
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
藤井 道彦 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60254231)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
上 正明 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80134443)
佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部, 講師 (70533256)
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| Keywords | アルティン群 / ブレイド群 / 二面体群 / 増大関数 / オートマトン / 双曲群 / 変形空間 |
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| Research Abstract |
研究代表者・藤井は、分担者・佐藤と共に、離散群のオートマティック構造の構成を行って、離散群の球面的増大関数の計算を行った。
具体的には、二面体群型のピュア・アルティン群 P について、
（１）平成２３年度の研究で、ライデマイスター・シュライアーの方法を用いて、群 P の表示を得ていたが、その手法を具体的に書き下して、論文にまとめた。
（２）平成２３年度の研究で、群 P に対するポジティブ・モノイド P+ が群 P に自然に単射に埋め込めることを、群論的手法で示したが、その証明を論文にまとめた。
（３）平成２３年度の研究で、ポジティブ・モノイド P+ の元を受理するオートマトンを作成できたが、その手法を詳しく考察することによって、群 P 自体の測地的代表元を受理するオートマトンの構成に成功した。
（４）（３）で得られたオートマトンを用いて、群 P の測地的増大関数 S の計算に成功し、さらに増大関数 S の有理関数表示を得ることにも成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究では、幾何学的に重要な離散群 Γ に対して、Γ の幾何を適切に反映させるリー群 G を選んで、その変形空間 X = Hom(Γ,G) を研究することが目的である。特に、Γ として、（１）双曲群、（２）アルティン群（例：ブレイド群）について、変形空間 X の構造を明らかにすることが目的である。
平成２４年度の研究では、（２）のアルティン群については、平成２３年度の研究の基礎固めを基にして、群の測地的増大関数の計算をして、その有理関数表示を得ることが出来たので、ある程度の達成感はある。それに対して、（１）の双曲群に関する研究は、平成２３年度と変わらず、３次元球面内の 5-2 結び目の補空間の上の双曲構造の変形空間の研究に関するものだけである。その点で、現在の達成度としては、「やや遅れている」を選んだ。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究では、幾何学的に重要な離散群 Γ に対して、Γ の幾何を適切に反映させるリー群 G を選んで、その変形空間 X = Hom(Γ,G) を研究することが目的である。特に、Γ として、（１）双曲群、（２）アルティン群に的を絞って、変形空間 X の構造を考察していく。今後の推進方策を具体的に述べると、
（１）の双曲群の場合には、３次元球面内の 5-2 結び目の補空間上の双曲構造の変形空間のヤコビ多様体の加法を具体的に記述して、変形空間 X の有理点の分布を研究していく。さらに、変形空間 X の数論的性質、例えば、モジュラー性を追求していく予定である。
（２）のアルティン群については、平成２３年度及び２４年度の二面体群型のピュア・アルティン群 P に関する研究をさらに深めて、一般のアルティン群の代表元の測地性の条件を求めていく予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究代表者・藤井は、分担者・佐藤および河澄との間で短期集中セミナーを適宜開催して、研究の進展具合を報告し、研究成果のまとめを行う。そのときに国内旅費を使用する。また、藤井は国内外で開催される研究集会等において、本研究の研究成果を発表する。そのときに国内旅費および外国旅費を使用する。また、オートマトンの構成をコンピューター・プログラムで実行して、増大関数を計算するために、コンピューター（MacBook Air)を購入し、さらに、数式処理システム（Mathematica)を導入する。このときに、物品費を使用する。
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