2013 Fiscal Year Annual Research Report
調和写像によるベクトル束と部分多様体の双対性の幾何学
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23540095
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
長友 康行 明治大学, 理工学部, 教授 (10266075)
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| Keywords | ベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / 正則写像 / 部分多様体 / 表現論 / モジュライ空間 |
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| Research Abstract |
まず第一の課題として、コンパクト対称空間上のベクトル束の切断から誘導される等径超曲面の主曲率を求めることに成功した。二つの例外的な場合が問題であったが、それぞれベクトル束に対する不変量と部分多様体の不変量を結びつけることにより、計算を遂行できた。この話題に関しては論文を作成中である。
また、複素射影直線から複素２次曲面への正則等長写像の分類に成功した。これは以前の研究において得られた、高橋の定理の一般化、そしてそれを用いたDo Carmo-Wallach理論の一般化を利用することによって達成された。その際、Do Carmo-Wallach理論の一般化をさらに精密なものにするために、写像に対する二つの異なる同値関係を導入した。これ自身ひとつの成果であるので、独立に論文を作成中である。この二つの同値関係は、これまでの先行研究では、偶然にも一致していることを示すことができたが、複素２次曲面への正則等長写像の研究においては異なる同値関係であることがわかった。この精密化により複素射影直線から複素２次曲面への正則等長写像のこれらの同値関係による商空間、いわゆるモジュライ空間を得ることができた。そして二つのモジュライ空間の関係も記述することに成功した。これらは先行研究の方法とは全く異なる手法を用いて得られたものであり、さらにそれらの成果を含む形で一般化できたことから、大変意義深いと考えている。さらに、ここで開発した手法はほかの写像の場合にも適用できるので、今後も理論の深化が期待できると思われる。
最後にEinstein-Hermite写像を定義し、コンパクトHermite対称空間から複素グラスマン多様体へのEinstein-Hermite写像が剛性を持つための十分条件を得ることができた。これにより、以前得られた射影的平坦写像の分類問題を進展させることができた。
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