2014 Fiscal Year Research-status Report
準結晶構造における制御点集合を用いた近似グリッドの構成
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23540141
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| Research Institution | Kochi University |
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Principal Investigator |
小松 和志 高知大学, 自然科学系, 准教授 (00253336)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質科学研究科(系), 教授 (60212445)
後藤 了 東京理科大学, 薬学部, 教授 (50253232)
江居 宏美 弘前大学, 理工学研究科, 助教 (60333051)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | 準周期タイリング / grid |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非周期タイリング上にgridを描くことで，その非周期タイリングをタイリング距離の意味で近似する周期タイリングの列を構成の手続きを定式化することが大きな目的である．これは準結晶の成長を記述することにあたる．gridから元のタイリングを復元する際に，一点からタイルを環状に拡大した局所配置を調べることが重要であった．我々は環状拡大というタイルの拡大をパッチと呼ばれるタイルの集まりの境界を記号列で表し，そのsubstitution ルールを用いて表現することを行ってきた。この表現を用いて，ユークリッド平面において，タイリングの非周期性とタイリング同士の違いを記述する方法を定式化することができた。これらの結果を学術論文として発表することができた。
この手法を双曲平面のタイリングに用いて得られた成果については現在、投稿中である。
また、実際の準結晶の数理モデルである正三角形と正方形をプロトタイルにもつタイリングにおいて，タイルの集まりであるパッチをパッチに置き換えるsubstitution ルールを考え、準周期的なタイリングの非可算種からなる族を構成することを行っている。substitution ルールで構成されたタイリングにおいては，くさび状のunbounded configurationの貼り合わせ方の分だけのバリエーションが生じる。くさび状のunbounded configurationのタイプとそれらの貼り合わせ方を網羅的に調べ上げる手法についても研究を行った。
さらに，副産物として，５分子の直鎖分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを調べることに応用できた．この結果は学術論文として発表した。将来的には本課題にリンクする高分子準結晶のフォールディング構造の近似に使える可能性を有している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
環状拡大と呼ばれるタイリングの構成法においては，タイルは同心円状に配置されるが，それだけでは十分と言えない。らせん状に広がる配置を同時に持ち得ることが必要であると考えられるが，現時点では定式化に至らず、一つの例を構成しただけである。
substitution ルールを与えることが重要であることは分かった。実際の準結晶の数理モデルである正三角形と正方形をプロトタイルにもつタイリングにおいて，タイルの集まりであるパッチをパッチに置き換えるsubstitution ルールを考え、準周期的なタイリングの非可算種からなる族を構成することを行っている。substitution ルールで構成されたタイリングにおいては，くさび状のunbounded configurationの貼り合わせ方の分だけのバリエーションが生じる。くさび状のunbounded configurationのタイプとそれらの貼り合わせ方を網羅的に調べ上げる手法についても研究を行った。
さらに，副産物として，５分子の直鎖分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを調べることに応用できた。位相不変量を用いて配置空間のトポロジーを調べることの
基礎固めができた．この結果は将来的には本課題にリンクする可能性を有している．以上より，トータルとしては、当初予定していた成果とほぼ同等の成果が得られたものと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も環状拡大と呼ばれるタイリングの構成法において，一つの例を構成したに留まっているらせん状に広がる配置を持たせる構成法の定式化を目指す。さらにsubstitution ルールでそれが実現できることが重要であることは分かった。この場合にはタイルはフラクタルな境界をもつタイルであり，これまで扱ってきた多角形タイルとは異なっている。多角形タイルで得られたこれまでの結果をフラクタルな境界をもつタイルの場合に拡張可能かを検討してゆく。最終年度で，できるだけ拡張した結果を得ることで、研究結果の集束を目指したい。さらに将来的には本課題にリンクする可能性を有する分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを調べることも並行して研究する。６，７，８分子から始めて，５分子よりも大きな直鎖分子の立体構造の数理モデルと一般の大きさの環状分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを扱う予定である。代数トポロジー的不変量を用いて配置空間のトポロジーを調べることを進めてゆく。
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