2013 Fiscal Year Annual Research Report
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23540178
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
本多 尚文 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00238817)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内田 素夫 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10221805)
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| Keywords | 完全WKB法 / 超局所解析 |
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| Research Abstract |
研究期間前半では、大きな摂動パラメーターを持つ線形高階常微分方程式のストークス現象の研究を行った。 このストークス幾何は、大変複雑であり、ある種のリーマン面上に展開される。 重要な問題の１つとして、各ストークス曲線での解の接続係数を求めるアルゴリズムを構成することが挙げられる。この問題に対し、接続係数を順に求めるアルゴリズムを構成することが出来た。 解の接続係数を求める問題は、応用上基本的かつ大切な問題である。高階常微分方程式のストークス幾何は大変複雑であるため、適当な順番で求めるのは困難であり、また、その順番で適切に定まるかも自明でない。本成果は、この問題に対して肯定的な答えを与える。
一方、非線形常微分方程式も、ストークス現象が起きることが知られている。 本研究課題の研究期間後半のテーマとして、高階の非線形方程式について研究を行った。方程式系はPI_m等のパンルベ階層を対象とした。 線形の場合とは異なり、インスタントン解と呼ばれる基底となる解を構成することは大変難しい。本研究では、PI_m等の持つ代数的構造を反映させる新たな手法を確立した。この方法は、PI_mのみならず、PII_m、PIV_m等のパンルベ階層にも有効であり、これらの階層に対してインスタントン解を構成した。
最終年度には、hooked 3-linesと呼ばれるダイアグラムのランダウ-中西多様体（以下LN多様体と記す)の特異性について研究を行った。 ２次元の場合に限られるが、hooked 3-linesダイアグラムの縮約も含めた分類を実行することで、例外集合を除いた点で現われるLN多様体を決定した。特に、この多様体の特異集合がホイットニーの傘であることが判った。これは、完全WKB解析を高次元化した場合に現われるであろう特異点であり、その良い雛形と考えられ重要な知見と言える。
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