2015 Fiscal Year Research-status Report
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23540225
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
宮崎 洋一 日本大学, 歯学部, 准教授 (10219769)
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2011-04-28 – 2017-03-31
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| Keywords | 楕円型作用素 / ソボレフ空間 / ヘルダ－空間 / 正則性定理 / ラプラシアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
楕円型偏微分作用素の理論に関して初年度から継続した研究を行い、次の成果を得た。
１．発散形および非発散形の楕円型作用素に関して、前年度までにLp正則性定理を得ていたが、係数の滑らかさを一様連続性からVMOへと緩めることができた。DongとKim (2011)はスペクトル・パラメータが正数のときに同じ結果を得ているが、本研究では、スペクトル・パラメータが複素平面の角領域に属する場合でも成り立つことを示せた。とくに、非発散形の楕円型作用素に対しては、領域の滑らかさは従来知られている条件よりも(m-1)小さくできることがわかった。ここで、mは楕円型作用素の階数を2で割った値である。
２．整数階数のソボレフ空間の実補間空間がベソフ空間であるという定理の別証明を考えた。この定理は、既に村松により第２積分公式を使って証明されている。本研究での証明は、村松の第１積分公式を用いるものであり、より簡明なものになっている。
３．ラプラシアンの固有関数の境界での漸近挙動について、ノイマン境界条件の場合にどのような量を考えればよいかを考察し、その量は既存のディリクレ境界条件の場合と統一的な視点で記述できるということがわかった。さらに、領域が球のときにノイマン境界条件での漸近挙動の公式を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
学内業務である共用試験のための会場選定や設営の準備で研究時間が圧迫されたことと、執筆に取りかかっていたソボレフ空間に関する論文で、論理的なギャップが見つかり、その解決に予想外の期間を要したことによる。
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| Strategy for Future Research Activity |
次の３つを目標に掲げたい。
１．執筆途中であるLp正則性定理に関する論文を、一様連続な係数からVMO係数へと条件を緩めた形で書き直し完成させる。
２．シャウダー空間における正則性定理に関して、指数が自然数の場合に境界の滑らかさの条件をジグムンド連続性へ緩めることができるかを検証する。
３．ラプラシアンの固有関数の境界での漸近挙動について、ノイマン境界条件の場合に公式を定式化し、それを証明する。
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| Causes of Carryover |
投稿中の論文がまだアクセプトされていないため、論文掲載料が未使用のままである。
また、授業日程が前年度までと比べ大幅に変更があり、日程調整がつかず学会出張の回数が予定よりも少なかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額にて、アクセス制限のあるジャーナルでのオープン・アクセス費に支払う。また、大阪で開催される日本数学会秋季総合分科会への学会出張の旅費に使用する。
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