2013 Fiscal Year Research-status Report
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23740128
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
下條 昌彦 岡山理科大学, 理学部, 講師 (40588779)
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| Keywords | 曲線短縮流 / 自由境界値問題 / 移流項付き曲率流 / 漸近自己相似性と収束 / 特異点解析 / 漸近挙動と分類定理 / 体積保存 |
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| Research Abstract |
移流項付き曲線短縮流方程式の自由境界値問題の解の漸近挙動と分類定理
昨年の段階で俣野博教授 (東京大学)，Jong-Shenq Guo (淡江大学)教授，Chang Hong Wu 准教授(国立台南大学)と移流項付き曲線短縮流方程式の自由境界値問題の解の漸近挙動と分類定理が完成し最終段階を迎えていたと思われていた．しかしながら、引用文献にある解存在定理の証明を詳細にチェックすると、解の連続依存性が証明できていないということが判明した．しかもその論文の証明法では連続依存性の証明が本質的に不可能であったので，存在定理に関して全く新しい別証明を与える必要性が生じた．この部分のギャップを埋めるのに半年くらいの時間を要したが，最終的に初頭的で自己完結的な証明を与えることが出来た．また昨年の段階では一点に収束する解の漸近凸性に関して、初期値が偶関数であることを仮定していたが，その仮定を除き一般の収縮解に対して漸近凸性を示すことに成功した．論文は60ページを超えており推敲作業がかなり難航しているが、本年度中には投稿、受理、掲載されることを念頭に作業を進めている．
上の論文では大小関係で順序付けした1パラメーター族の初期値を考えると解が広がるケースと縮むケースが支配的であり，その中間に位置するただ一つの閾値解だけが進行波に収束することを証明している．だが液滴の運動など身の回りに見られるの実際の自然現象では解は時間大域で一様有界である。このような現象は面積保存を課した曲線短縮流の自由境界値問題によって考察されるべき問題だと思われる．現在この問題に関して計算を進めており，いくつかの結果を得ている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年の段階で俣野博教授 (東京大学)，Jong-Shenq Guo (淡江大学)教授，Chang Hong Wu 准教授(国立台南大学)と移流項付き曲線短縮流方程式の自由境界値問題の解の漸近挙動と分類定理が完成し最終段階を迎えていたと思われていた．しかしながら、引用文献にある解存在定理の証明を詳細にチェックすると、解の連続依存性が証明できていないということが判明した．しかもその論文の証明法では連続依存性の証明が本質的に不可能であったので，存在定理に関して全く新しい別証明を与える必要性が生じた．この部分のギャップを埋めるのにかなりの時間を要した．時間的には遅れていると言わざるを得ない．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで進めてきていたGeometric Flow の問題はすべてグラフ表示を仮定している．近年のCarlo Mantegazza(SNS Pisa)の曲線短縮流のTriple junction の解析やKarel Svadlenka (金沢大学)の液滴モデルの数理計算では解がグラフ表示されない場合をどのように扱うかも議論している．上の研究でもそのような方向性を考えている．また現在自由境界値条件としてcontact angle 条件を課しているが，Stefan条件を考えるのも自然である．そのような場合に関する問題も国内外の専門家と議論をして進めていきたい．
移流項付き曲線短縮流方程式にcontact angle条件を課した問題をAllen Cahn 方程式の特異極限でどのように捉えるのかという問題も興味深い．現在，形式的な計算で，自由境界での角度がどこも同じ場合は導くことが出来た．だが我々の問題では各境界点で角度が異なっているため，通常の特異摂動ではうまく得られないようである．どのようにこの点を克服するのかは現段階では未解決である．重力効果などをうまく取り入れるなど何らかの方法で解決できないかを模索中である．
また異方性を加味した重み付き曲率方程式などの結晶成長に関連する自由境界値問題も考えていきたい．
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Research Products
(5 results)
