2023 Fiscal Year Research-status Report
Topological Complexity and A-infinity structure
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23K03093
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
蔦谷 充伸 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (80711994)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | Lusternik-Schnirelmann / Topological Complexity / Diffeology / A_infinity structure |
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| Outline of Annual Research Achievements |
位相的複雑さというホモトピー不変量は古典的なホモトピー不変量である Lusternik-Schnirelmann カテゴリ数（cat と呼ばれる）と形式的には非常によく似た不変量であり、酒井道宏氏と岩瀬の共同研究により特別な（fibrewise な）環境ではある意味で同一であることが示されている。その一方で cat の決定には、岩瀬により、Ａ∞手法が有用である事が示されている。本研究はこのＡ∞手法を tc に適用するというアイデアがそのベースとなっており、三つの成果を発表した。
一つ目は、Ａ∞手法の側面から Fadell-Husseini の研究を主題として古典的な問題意識が重要であることを強調しつつ、Lusternik-Schnirelmann 理論や位相的複雑さの解説を行う論文を発表した。より多くの人にその本質を理解して頂くのは大切な事であると考えており、さらに新しいだけの問題は結局残っていかないと信じている。その中でも球面空間形式に対する位相的複雑さの決定は本来的に重要である。
二つ目は、位相的複雑さにＡ∞構造による研究手法が有効であることを示した宮田祐也さんとの共同研究の成果である。その結果は３次元の球面空間形式に限定していたのであるが、2023年度はその手法の中心にある python プログラムを brush-up し、さらに一般次元の解決に向けて始動する年となった。
三つ目は、この位相的複雑さに微分構造を持ち込む目的で、滑らかな loop 空間の積を論じた論文を提出した。これにより Toda の standard path space を測地線の観点から解釈したいと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
発表した三つの論文は結果としては順当であるが、球面空間形式に対する位相的複雑さの決定については、python プログラムの改良によってもいまだに一般次元の結論が得られていないのはマイナスであると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
既に球面空間形式に対する位相的複雑さの決定に対して pyrhon プログラムによりＡ∞構造のコホモロジーを計算する手法の有効性は検証済みであり、さらにこれを brush-up して一般次元での決定に到達したいと考えている。その為には、どうしても現状より一桁能力の高い計算機が必要であると考えている。
さらに、滑らかな loop 空間により滑らかなＡ∞構造を構成することで Toda の standard path space と微分幾何との関連を明らかにし、その上で「滑らかな位相的複雑さ」別の言い方をすれば「滑らかな複雑さ」を考察したいと考えている。これにより、真に具体的な物体の motion planning 問題に対する複雑さに近づく事になると考えている。
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| Causes of Carryover |
いまだ海外渡航費が高止まりしており、渡航を取りやめたりしたことで多少の残額が生じたが、特に計画に変更をもたらす程のものではない。
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