2021 Fiscal Year Annual Research Report
Representation Theory and Algebraic Analysis
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20H01795
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
柏原 正樹 京都大学, 高等研究院, 特定教授 (60027381)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 表現論 / 量子群 / 箙ヘッケ環 / 不確定特異点ホロノミック系 / クラスター代数 / 圏化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子アフィン環が、アフィンルート系に対応しているのは自明である。研究代表者は、さきに導入した量子アフィン環の有限次元既約表現の組に対する不変量をもちいて、それぞれのアフィン量子群にADE型ルート系が対応することを示した。これは、これらの不変量によりアフィン量子群の既約表現の同型類の間に内積を入れることにより示された。この事実は個々の場合にはぼんやりとは認識されていたと思われる。この対応が理論的に自然な形で得られたことは様々な現象にもあらわれるADE型ルート系が再び現れたこととあいまって非常に興味深い。
また、同じADE型ルート系をもつアフィン量子群は、その有限表現全体が同じであることを示したのは、予見できていなかった成果である。
また、これをもちいて、量子アフィン環の加群圏の様々の部分圏が団モノイダル圏構造を持つことを示した。それには、上記の不変量とともに、鎖と呼ばれる組み合わせ論的概念を構築することによっって得られた。
箙ヘッケ環の表現論に関しては、その表現のつくる圏の局所化を考え、そのテンソル圏として、各対象が双対を持つこと示した。さらにこの双対が周期６の性質を持つことを示した。
代数解析に関しては、D'Agnolo氏と副構成層の近傍サイクル関手と消滅サイクル関手を定義し、それがラプラス変換により対応することを見いだした。これは、純位相的な方法によっている。また、これが対応するD加群の近傍サイクル関手と消滅サイクル関手に対応することも見いだした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
新型コロナ蔓延の影響で、当初招聘して共同研究する予定であったP. Schpira氏、A. D'Agnolo氏、 Myngho Kim氏、 Se-jin Oh氏, Euiyong Park氏の来日が不可能となった。又、研究代表者が訪韓しての共同研究も取りやめとなった。Zoom等を用いての共同研究は続けているが、それでは不十分である。
これらの事由により、研究計画に大幅に遅延している。
また、そのため、研究経費の殆んどを、返還することとなった。
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| Strategy for Future Research Activity |
A. 量子アフィン環の加群圏に対して、これまで箙ヘッケ環に対して得られた様々な知見と同様な現象を探求する。 例えば、既約表現の組み合わせ論的記述、基本表現間の不変量の記述、等々をしらべる。
B. 量子アフィン環上の加群圏を次数つき圏に持ち上げる方策を探る。有限次元既約表現の組に対する不変量が箙ヘッケ環の場合は次数と密接に結び付いていることから、これは十分期待できる。
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