2023 Fiscal Year Annual Research Report
Variational problems and geometric analysis for hypersurfaces with singular points, and novel development of discrete surface theory
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20H01801
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 名誉教授 (10178189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺本 圭佑 山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (10830002)
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
可香谷 隆 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (60814431)
松江 要 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70610046)
安本 真士 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 講師 (70770543)
本田 淳史 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (90708611)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 区分的に滑らかな曲面 / 変分問題 / ピローボックス / 可展面 / ガウス-ボンネの定理 / 曲面の特異点 / 曲面の内在的曲率 / 測地円 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主たる研究対象はユークリッド空間内の区分的に滑らかな曲面（piecewise smooth surface. 以下、PWS曲面と呼ぶ）及びその一般次元版である。PWS曲面とは、いくつかの滑らかな曲面を連続的に繋いだものであり、各点の近傍として円板がとれるようなものである。本研究では、PWS曲面について、特に、頂点や辺上の点のような特異点での曲がり具合などの幾何概念の整備及び変分法構築を主課題としている。
2021-22年度に、PWS曲面についての変分問題の例として、ピローボックスと呼ばれる閉可展面について、「縦と横の長さを任意に指定された二重長方形に対し、それと等長なピローボックス」の体積最大解の存在と一意性、解の楕円積分を用いた表示式、平面からピローボックスに至る自然な連続等長変形（伸び縮みせずに連続的に変形すること）を具体的に構成した。しかし、この結果だけでは、「縦と横の区別無しに任意に与えた二重長方形に対し、それと等長なピローボックス」の体積極大解はちょうど2つ(縦横の長さが等しいときは1つ)だが、2つのうちのどちらが体積最大かは不明である。2023年度には、数値計算を援用することによりどちらが体積最大解であるかを予測した。
また、2022年度に，PWS曲面上の各点を中心とする測地円の長さの半径についての級数展開公式を求めた。2023年度には、これを精密化一般化して国内外の国際研究集会で口頭発表し反響を呼んだ。また、得られた公式を用いてPWS曲面の内在的な特異点及び特異点における曲率を定義した。さらに、これらの概念を用いることにより、曲面についての微分幾何的量と位相幾何的量を繋ぐ公式として重要なガウス-ボンネの定理を簡明な形で表現することに成功した。なお、この級数展開は、滑らかな曲面に対してはBertrand-Puiseuxの定理(1848年)として知られている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」欄に記載した成果の他に、特異点をもつ解が自然に現れる変分問題の自由境界問題の例の研究及び論文執筆、曲面の非等方的エネルギーの変分問題に対する離散化及びエネルギー勾配流による解の構成、ピローボックスの体積最大解の実問題への応用及び体積最大解の生成プログラムの構築などの研究を、一部建築工学の研究者と協働しながら進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
1.古典的なBertrand-Puiseux の定理の一般化：(1)2023年度までに行なった議論を曲面の特異点のまわりで精密化し、区分的に滑らかな曲面の全ての点において半径の3次までの展開公式を得る。(2)(1)で得た式を各点のまわりで積分することにより、測地円の面積の半径のべき級数による展開公式を得る。2.与えられた任意の二重長方形に縦と横を指定したとき、それに等長なピローボックスの中で体積が最大なものの一意存在と表示式を2023年度までに得た。2024年度は、縦横の長さが異なる二重長方形に対し、縦長な場合と横長な場合それぞれのピローボックスの最大体積を比較し、大小を決定する。結果の予想は2023年度に得た。証明方法は、まず、式変形により体積の大小決定を試み、うまくいかない場合は、精度保証付き数値計算を援用する。3.「体積保存変分」に対する非等方的エネルギー極小閉曲面の一意性：(1)まず、平面内の閉曲線の場合について、対応する性質を証明する。(2)(1)の次元を一般化する。うまくいかない場合は、まず、埋め込み性や種数についての仮定をおいて、証明を試みる。それでもうまくいかない場合は、非等方的エネルギーに「弱い凸性」の仮定をおく。4.区分的に滑らかな曲面に対する変分法の定式化：古典的な変分法を区分的に滑らかな曲面に対して一般化する。その際、2023年度までに定義した曲率や法ベクトル等の概念を用い、また、上の2及び3の変分問題を例とする。5.「現在までの進捗状況」欄の「理由」として記載した内容を進める。
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