2022 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of new phase-parameter space correspondence for complex dynamics in dimension two
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20H01809
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小木曽 啓示 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40224133)
上原 崇人 岡山大学, 自然科学学域, 准教授 (40613261)
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
荒井 迅 中部大学, 創発学術院, 教授 (80362432)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 複素へノン写像 / ジュリア集合 / モノドロミー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は、複素 Henon 写像など複素2次元力学系の重要なクラスに対し、そのパラメータ空間を位相的・組み合わせ論的に記述することで、大域的な分岐 現象や対応する Julia 集合の性質を理解する点にある。そのための手法として、力学系の相空間とパラメータ空間との間に今まで知られて来なかった新しい対応 関係を構築することが鍵となる。
昨年度は、それまでに引き続いて Bedford-Smillie, Dujardin らの定理に基づき、連結でないジュリア集合をもつ複素へノン写像を数値的に(しかも厳密に)判定するアルゴリズムの開発とその高速化を行った。この結果は中部大学の荒井迅氏との共同研究であり、その証明には計算機による精度保証計算を本質 的に用いる。
また九州大学数理学研究院のポスドクである Thomas Richards 氏と共同で、複素１次元の２次多項式族に対して pseudo-monodromy の概念を定式化して、それが conspicuous な双曲成分のニーディング列で完全に特徴付けられることを証明した。この結果は、複素２次元のへノン写像族における Lipa の予想が１次元に退化した場合の解決を与えている。
さらに九州大学マスフォアイノベーション連係学府博士課程１年生の弘中祐希氏と共同で得られた、ホースシュー領域近くの実へノン写像の位相同値類をある記号力学系の特別な記号列の個数で特徴付けるという論文は、レフェリーによる査読を経て Ergodic Theory and Dynamical Systems に掲載されることが決まった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
上述のように、複素２次元のへノン写像族における Lipa の予想が１次元に退化した場合を解決したから。
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| Strategy for Future Research Activity |
連結でないジュリア集合をもつ複素へノン写像を数値的に(しかも厳密に)判定するアルゴリズムの開発については、以前としてさらなる高速化が必要である。そこで今後はさらに新しい数学的アイデアと組み合わせることによっ て、パラメータ空間を大域的にサーチ出来るようにアルゴリズムを改良したい。
また複素１次元の２次多項式族に対する Lipa の予想の解決については、この結果を herd という概念と結びつけることによって、本来の複素２次元における Lipa の予想の解決に繋げていきたい。
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