2024 Fiscal Year Research-status Report
A comprehensive study on the mathematical aspects of metallic ferromagnetism
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23K25783
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
宮尾 忠宏 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20554421)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
坂井 哲 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50506996)
桂 法称 東京大学, 大学院理学系研究科(理学部), 准教授 (80534594)
松澤 泰道 信州大学, 学術研究院教育学系, 准教授 (60645620)
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| Project Period (FY) |
2024-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 金属強磁性 / 長距離秩序 / 環境との相互作用 / Pirogov-Sinai理論 / 作用素環論 / 線形応答理論 / 無限フェルミオン系 / 基底状態 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和6年度の主な研究成果は以下の通りです：
金属強磁性の厳密解析：金属強磁性の厳密な理解に向けて鍵となるPirogov-Sinai理論を、電子・格子相互作用系に対して拡張した。格子振動を記述する作用素が非有界であるため、これらの系の解析は数学的に高度な技術を要する。本研究では、場の量子論の手法を応用することでこの困難を克服した。また、本研究からはいくつかの興味深い派生問題も生じており、今後さらに関連課題を掘り下げていく予定である。
一次元フェルミオン系における電荷密度波（CDW）の厳密解析：一般に、一次元系において短距離相互作用が支配的な場合、Mermin-Wagnerの定理により長距離秩序は現れないことが知られている。本研究では、長距離相互作用を持つモデルを対象とし、鏡映正値性を用いることで、基底状態における長距離秩序の存在を厳密に証明した。さらに、このメカニズムを作用素環論におけるvon Neumann環の標準形の枠組みで整理し、理論的理解を深めた。無限系における厳密な数学的記述が今後の課題であり、引き続き研究を進める予定である。
整数量子ホール効果に関する国際共同研究：チュービンゲン大学の研究グループと協力し、整数量子ホール効果に関する研究を行った。本研究は金属強磁性とは異なるテーマであるが、いずれも無限フェルミオン系の解析を必要とする点で数学的に相乗効果をもたらしている。これまでの数学的理論は実験的現実から乖離していたが、我々のグループはより実際的な設定において、ホール係数が量子化されることを厳密に証明した。本成果は現在、当該分野のトップジャーナルに投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
金属強磁性の数学的理解に向けた基礎理論に関する結果を順調に出版できている．特に，Pirogov-Sinai理論は汎用性の高い理論であり，今後も様々な応用が考えられる．また，作用素環論を用いた理論の数学的記述も一定の成果が上がっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
1．電子・格子相互作用系における基底状態相図の研究の深化
令和6年度には、Pirogov-Sinai理論を用いて単純な電子・格子相互作用系の基底状態を厳密に解析し、理論的に明確な相図の描像を得ることに成功した。令和7年度はこの成果を踏まえ、より複雑な相互作用を含むモデルに対して、基底状態の構造と相図の精密な解析を進める。特に、非自明な秩序相の出現に着目する予定である。若手研究者との共同研究も視野に入れ、複数の視点からのアプローチを試みる。
2．flat band模型に対する数学的枠組みの構築
近年注目を集めているflat band模型の数学的記述について、東京大学理学部物理学科の桂先生との打ち合わせを数回行っており、基本的な方向性についての共通理解は得られている。しかし、互いの多忙により研究は初動段階にとどまっている。令和7年度からは研究体制を整え、本格的にflat bandに特有な特異なスペクトル構造の解析と、それに対応する数学的枠組みの精緻化を進める予定である。
3．無限系における金属強磁性の理論的枠組みの構築
金属強磁性の厳密理論の構築は長年の課題であり、有限系における成果を無限系へと拡張することは数学的にも物理的にも大きな挑戦である。本研究では、無限系の定式化に適した数学的枠組みとして作用素環論に基づくアプローチを採用する。一方で、従来の理論的枠組みでは金属強磁性を適切に記述できないことが、これまでの検討により明らかとなっている。令和7年度からはこの困難を正面から捉え、金属強磁性を記述可能な新たな代数的理論構築に向けた研究を開始する。
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| Causes of Carryover |
令和6年度にチュービンゲン大学から2名の研究者を北海道大学に招待した。うち1名は、3か月にわたる長期滞在となった。当初の予定では、滞在費を本予算から支出する計画であったが、最終的にチュービンゲン大学の博士課程プロジェクト予算から支出されることになった。このため、約150万円程度の繰越金が生じた。 この繰越金は、令和7年度に海外から3～4名を筆者主催の国際研究集会に招待するために使用する予定である。加えて、筆者がドイツに研究滞在する際の滞在費にも充てる計画である。．
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