2012 Fiscal Year Annual Research Report
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24224001
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Grant-in-Aid for Scientific Research (S)
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
齋藤 政彦 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80183044)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 泰彦 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00202383)
太田 泰広 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10213745)
望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
吉岡 康太 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40274047)
野海 正俊 神戸大学, 自然科学系先端融合研究環重点研究部, 教授 (80164672)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | 可積分系 / パンルヴェ方程式 / 相空間 / モジュライ理論 / 量子コホモロジーとミラー対称性 / リーマン・ヒルベルト対応 / 国際研究者交流 / 国際情報交換 |
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| Research Abstract |
稲場と齋藤は、非特異射影曲線上の一般階数の接続で不分岐な不確定特異点を許すもののモジュライ空間をgenericな場合に幾何学的不変式論を用いて非特異代数多様体として構成した．また, パラメータがgenericな場合に, Riemann-Hilbert対応が、対応するストークス・モノドロミー表現のモジュライ空間との解析的同型を与える事を示し，ストークス・モノドロミー変形を記述する非線形微分方程式系のパンルヴェ性の厳密な証明を与え，確定特異点の場合の稲場, 稲場・岩崎・齋藤の結果を拡張した. また, 齋藤は海外共同研究者と接続のモジュライ空間の上の異なるラグランジュアンファイブレーションについて考察し、特別な場合に岡本変換との関係を明らかにした．野海と山田は、Pade 補間の方法を用いて, 楕円差分パンルヴェ方程式の Lax 形式を構成する方法を与え, 超幾何型特殊解の行列式表示を与えた. 山田は共同研究者と、４次元のN=2超対称SU(2)ゲージ理論の面作用素付きAＧＴ予想に関して, 局所化公式による分配関数と共形場相関関数を, 退化した場合も含めて比較し, 位相的弦理論との整合性を確かめた. 吉岡は, 有理2重点をもつ射影曲面上の層のモジュライを非可換環を使って構成した. 望月は，調和束とツイスターＤ加群の理論について可積分系への応用を行った．森は, 高々端末特異点のみを持つ３次元代数多様体の端収縮射のうち, (IC)型と(IIB)型について、超曲面切断を明示し, 極小モデル理論の精密化を行った．向井は井草の４次超曲面をSteiner的性質で特徴づけた. 細野は，共同研究者と3次元のReye合同型カラビ・ヤウ多様体を調べ，それが射影双対によって，双有理同値ではないカラビ・ヤウ多様体と対をなして現れることを示した．またミラー対称性を使って各々のBPS数を決定した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
稲場と齋藤の不確定特異点を許した接続のモジュライ空間の構成は, 不分岐genericな場合に完成したのは大きな進歩である．しかし，パラメータがgenericでない時に, 接続のモジュライ空間の構成と，ストークス・モノドロミー表現のモジュライ空間の構成，さらにはリーマン・ヒルベルト対応の解析同型性等，いくつかの技術的困難があるので，その部分を今後考察する必要がある．又、分岐を許す不確定特異点の場合には, モジュライ空間の構成，リーマン・ヒルベルト対応の幾何学は今後の課題である．野海と山田の楕円パンルヴェ方程式の研究，山田の数理物理的研究，また量子パンルヴェ方程式の研究など興味深い研究が行われているが、上記のモノドロミー保存変形の幾何学的な観点からの研究の進展が望まれる．
一方，高次元の双有理幾何学については，森，藤野が共同研究者と理論を進展させており，理論の精密化が行われている．また，正標数の代数曲面論や, 代数的なシンプレクテック多様体の研究, モジュライ理論等の研究も活発に展開され，順調に推移している．
また，数理物理学的研究，ミラー対称性に関する研究も，細野，戸田，入谷らによって進展させられており，今後も研究情報の共有を進めて，可積分系との関係の理解を深める研究も期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者，研究分担者，連携研究者はそれぞの分野で関連する独自の研究を進めるとともに, 積極的に，国際的共同研究を行う体制を整える．国際研究集会やワークショップを開催したり，海外の研究集会に参加したり、研究者の招聘、訪問により, 国際的に研究情報の交換を盛んにし，本質的な研究の進展を目指す．
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