2013 Fiscal Year Annual Research Report
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24340011
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
古田 幹雄 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (50181459)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 微分トポロジー / 多様体上の解析 |
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| Research Abstract |
今年度の主たる成果は次の３つである。
(1) Tian-Jun Li氏との共同研究を古田がミネソタ大学において行い、Floer homotopy typeの定式化として圏を関手を用いた基礎理論を構築した。ManolescuによるSeiberg-Witten Floer homotopy typeの定式化を再考し、well-definednessの根拠を、第一に、ふたつの圏の間の関手の構成、第二に、モノドロミーの概念の定式化、に分解して再構成した。それによって、Floer homotopy typeの構成が、Seiberg-Witten理論に限らずより抽象的な状況に一般化可能となった。
(2) 松尾信一郎氏（大阪大学）を協力者とし、解析的側面に関する共同研究を行い、LeBrunの不等式の別証明と拡張を得た。Seiberg-Witten理論の基盤となる、モジュライ空間のコンパクト性の根拠において、Weitzenbock公式の役割を根底から再考することにより、Seiberg-Witten方程式の形を大幅に変形しても同じ不変量が得られるという考察に基づく。微分幾何的な不等式を得るために適切な方程式の形を手で作ることが可能になり、既存のLeBrunによる議論の著しい簡易化と、一般化がなされた。
(3) Seiberg-Witten不変量の考察のために亀谷・古田の共同研究で用いられた不変量が、トポロジカル絶縁体の理論に現れるとの知見を得て、これと関連した考察を行い、その結果バルクエッジ対応の議論の一部が「指数の同境不変性」によって数学的に与えられることが示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
主な成果において、（１）は予期された成果である。（２）は予期を超える成果である。また（３）は当初の想定を越えた発展における成果である。
一方、研究の目標のひとつであった、Sieberg-Witten理論のPin版についての研究に十分のリソースを割くことができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度得られた成果の発展について：（１）のFloer homotopy typeの理論については、Tian-Jun Li氏の他、笹平史裕氏、Tirasan Khandhawit氏の協力のもと、現在の理論構成を続行する。（２）のSW方程式の変形の研究については、松尾信一郎氏の協力のもと、シンプレクティックな場合についての考察を行う。（３）のトポロジカル絶縁体関連の研究は、新たに連携研究者を設定し、本研究との分離可能な部分については分離する。
今年度、十分な成果が得られなかったトピックについて：Pin(2)版についての研究は、亀谷幸生氏、中村信裕氏の協力を得て、現在のプランを遂行する。Dirac作用素の局所化に関しては、吉田尚彦氏、藤田玄氏の協力を得るほか、上記トポロジカル絶縁体関連の研究との調整を行う。
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