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2015 Fiscal Year Annual Research Report

無限次元空間上の確率解析

Research Project

Project/Area Number 24340023
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

会田 茂樹  東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90222455)

Project Period (FY) 2012-04-01 – 2016-03-31
Keywords無限次元空間 / 確率解析 / ラフパス / 準古典極限 / 場の量子論
Outline of Annual Research Achievements

今年度は、前年度に引き続き, (1)ユークリッド空間の領域で定義された反射境界条件のラフパスで駆動された微分方程式(rough differential equation)の解の性質の研究、(2)リーマン多様体上の基点付きループ空間上のOrnstein-Uhlenbeck作用素のスペクトルギャップの漸近挙動の研究、(3)1次元の非整数ブラウン運動で駆動される確率微分方程式の解の近似の漸近挙動、(4)経路依存の確率微分方程式の解のオイラー近似などの研究を行った。(1), (2)については、具体的には以下の通り。

(1)この方程式の解は一意とは限らないが、普遍可測写像のバージョンが存在することを前年度に示した。境界が滑らかな時は、この解写像は滑らかなパスの所で連続であることを示した。これにより、ラフパスが非整数ブラウン運動などのときに、通常の確率微分方程式の場合と同様なサポート定理が成立することがわかる。領域の境界が滑らかでない場合、解の存在が示されている領域には、ある制限(境界での法線ベクトルがあまり動かない)という不自然な条件があるため、この縛りをなくすべく研究をしている。また、一意性についても考察を行っている。

(2)回転対称な計量を持つリーマン多様体上のループ空間で定義されたOU作用素のスペクトルギャップの漸近挙動が測地線におけるエネルギー関数のヘッシアンで決定されることを示した研究である。内容的には前年度と変わりが無いが、大偏差原理を用いる部分の証明を改良した。回転対称とは限らない場合を含めるため、熱核の対数微分の評価も行っている。

Research Progress Status

27年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

27年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (5 results)

All 2015 Other

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (2 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Journal Article] Asymptotics of spectral gaps on loop spaces over a class of Riemannian manifolds2015

    • Author(s)
      Shigeki Aida
    • Journal Title

      Journal of Functional Analysis

      Volume: 269 Pages: 3714, 3764

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2015.09.023

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] Asymptotics of spectral gap on loop spaces over a class of Riemannian manifolds2015

    • Author(s)
      Shigeki Aida
    • Organizer
      確率論と幾何学
    • Place of Presentation
      東京工業大学、目黒区大岡山
    • Year and Date
      2015-11-10 – 2015-11-10
  • [Presentation] On solutions to reflected rough differential equations2015

    • Author(s)
      Shigeki Aida
    • Organizer
      Stochastic Analysis
    • Place of Presentation
      京都大学大学院理学研究科、京都市
    • Year and Date
      2015-09-08 – 2015-09-08
  • [Remarks] Tohoku University

    • URL

      http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/index-j.html

  • [Funded Workshop] 確率解析とその周辺2015

    • Place of Presentation
      大阪大学大学院基礎工学研究科
    • Year and Date
      2015-10-20 – 2015-10-22

URL: 

Published: 2017-01-06  

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