2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540027
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
谷口 健二 青山学院大学, 理工学部, 准教授 (20306492)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 標準 Whittaker (g,K)-加群 / 主系列表現の組成列 |
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| Research Abstract |
本研究では，研究代表者が定義した「標準 Whittaker (g,K)-加群」の構造を解析し，その組成列を決定することを主な目標としている．
無限小指標が generic な場合と，無限小指標が integral で群が SL(2,R), U(n,1) の場合については，申請時までに構造が完全に解明されていた．その続きとして，平成24年度は，無限小指標が integral で群が Spin(n,1) のときに，U(n,1) の場合と同様の手法を用いて，標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を完全に決定した．この成果については，現在投稿中である．
この Spin(n,1) の場合では，K-type の shift 作用素によって，ある表現に含まれるベクトルが消滅するか否かで，標準 Whittaker (g,K)-加群の組成列を調べている．この計算に使う道具として，U(n,1) のときと同様に，不変包絡環の中心元を用いた．その際，本研究に使うという目的にあった中心元を構成する必要があったため，本研究の副産物として，交代行列実現による直交リー環の不変包絡環の中心元の新たな構成方法が得られた．
実階数が高い群の標準 Whittaker (g,K)-加群の構造解析も始めたが，困難が多いため，比較的扱いやすい主系列表現の構造解析を始めることにし，群が Sp(2,R) の場合に，主系列表現の socle filtration を決定する問題に着手した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
交付申請時の研究計画では，平成24年度には Spin(n,1) の標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を決定し，更に他の低階数の群についても解析を行うとしていた．
上記「研究実績の概要」にあるように，この目標はほぼ達成されている．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成24年度の研究がほぼ計画通りに進んだため，今後も申請時の研究計画に沿って研究を進めていく予定である．
ただし，平成24年度の研究により，高階数の群の場合には，無限小指標が integral な標準 Whittaker (g,K)-加群の構造が複雑であることが垣間見られた．そこで標準 Whittaker (g,K)-加群と似た構造を持ち，組成因子などについて深い結果が既に知られている主系列表現について，その socle filtration を決定する問題にまず取り組み，その結果を本研究の主題に応用することも考えている．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
該当なし．
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