2012 Fiscal Year Research-status Report
旗多様体の同変Ｋ理論におけるシューベルト類と特殊多項式
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24540032
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
池田 岳 岡山理科大学, 理学部, 准教授 (40309539)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 旗多様体 / シューベルト類 / 同変K理論 |
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| Research Abstract |
シンプレクティック型および直交型の極大等方型グラスマン多様体を考える．極大トーラスの作用に関する同変K理論において，シューベルト構造層を代表する関数を導入した．主結果はトーラス固定点集合に局所化するという写像を通して，これらの関数がシューベルト構造層と同一視できることを主張している．それを証明するために，定義した関数が左側差分商作用素に関する方程式をみたすことを示した．また，これらの関数が，パッフィアンの比の形で表されること，集合値シフトヤング盤もしくは励起ヤング図形の母関数としても表示できることなどを証明した．
組合せ論的には集合値シフトヤング盤の概念を導入したことが重要である．それだけではく，シンプレクティック群および直交群の旗多様体に対して同変K理論のシューベルト構造層を記述するという中心課題のための重要なステップとして，この結果は意義がある．以上の結果を論文として最終的に仕上げることができた．
A型のグラスマン多様体のK理論に関して，シューベルト構造層に関する積構造定数の記述を与える Buch の規則に対して，簡明な別証明を与えることができた．ラグランジアン・グラスマン多様体の場合にも同様の手法を適用できることが予想される．K-theoretic Q- functions のピエリ規則を与えるために，ロビンソン・シェンステッド型のアルゴリズムを考案していた．その証明の詳細を整理して最終的に発表する準備ができた．Factorial P- and Q-functions を用いて，量子同変コホモロジーを記述する課題は最終的な詰めを残すのみである．シンプレクティック型のアフィン・グラスマン多様体に対して，同変コホモロジー類を記述する研究を開始し，局所化写像の組合せ論的記述や，factorial Q-functions との関連等の部分的結果を得ている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の目的は，ほぼ順調に進展しているが，計画以上に進んだ面もある．以下具体的に進展状況について述べる．詳細の発表が遅れていた課題についても，最終的な形がほぼ固まった．
K-theoretic factorial P-and Q-functions に関しては，論文の原稿に修正すべき点が見つかり，その対応をする必要があった．しかし，時間はかかったものの，よい形で修正できて，出版されることになった．A型のグラスマン多様体のK理論については，比較的短期間で期待された結果に到達できた．ピエリ規則の論文執筆に関しては，予定よりもかなり遅れていたが，最終的な形がほぼできあがったので，脱稿の見通しが立った．シンプレクティック群および直交群の旗多様体に対して同変K理論のシューベルト構造層を記述するという中心課題については，現状では当初の計画に間違いが無いことが確認できており，順調に進んでいると言える．引き続き，議論の細部を埋める必要がある．
シンプレクティック型のアフィン・グラスマン多様体について，新たに研究を開始した．局所化写像の記述ができたが，この結果は予想以上に深い事実と関連していることがわかってきた．
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| Strategy for Future Research Activity |
計画通りに進める．古典型旗多様体の同変K理論におけるシューベルト構造層の解明という目標に着実に近づく．他の関連する課題も同様に進める．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
海外旅費（研究打ち合わせ）に 200,000円，国内旅費（成果発表，研究打ち合わせ）に300,000円程度を使用する．
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