2014 Fiscal Year Research-status Report
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24540046
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| Research Institution | Hiroshima City University |
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Principal Investigator |
齋藤 夏雄 広島市立大学, 情報科学研究科, 講師 (70382372)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 正標数 / 代数多様体 / del Pezzo曲面 / F分裂性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，F分裂性を持たないような滑らかなdel Pezzo曲面についての研究を中心に行った．すでにこれまでの研究で，そのようなものが次数3以下のときにのみ存在し得ること，また次数3および2のときには，滑らかな反標準因子がすべて超特異楕円曲線であるという性質と非F分裂性が同値であることが明らかになっている．また，そのような曲面を射影平面のブローアップとして見たとき，中心の点の配置がある条件を満たすことと同値であることも，昨年度に示している．本年度はこのブローアップの中心となる点の配置についてさらに詳しい研究を行った．その結果，標数3のときはそれらの点の配置が一意的に定まることを，反標準因子の線形系が定める二重被覆の分岐因子である4次曲線の自己同型群に着目することによって証明することができた．これによって，反標準因子がすべて超特異楕円曲線であるという特殊な状況にあるdel Pezzo曲面を，次数が3と2の場合について，ブローアップの中心という幾何的な条件によって記述することに成功した．残された次数1の場合についても特徴づけを与えること，さらに3次元Fano多様体においても同様の問題を考察し何らかの特徴づけを得ることが，今後の課題である．
一方，正標数の特異点の局所的な構造の解明については，正標数特有の群スキームの商として得られる特異点の変形理論について考察を行ったが，現時点では特段の成果は得られていない．
研究にあたっては，国内外の研究者と議論および情報収集を行うことを目的として，関西学院大学や東京理科大学で行われた研究集会で講演したほか、京都大学・東京大学・高知大学で行われた研究集会などにも参加し，参加者と活発な議論を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，前年度に引き続いて反標準因子の一般因子が超特異であるようなFano多様体の研究を行い，次数2のdel Pezzo曲面について研究を進展させることができた．射影平面のブローアップとしてdel Pezzo曲面を与えたとき，ブローアップの中心となる点の配置を決定することが前年度からの懸案であったが，本年度はその問題を解決することができた。さらに，次数1のdel Pezzo曲面についても，今後進展することが期待できる。
一方，局所的な特異点の構造に関する問題や，準楕円曲面の多重標準因子線形系から定まる写像についての研究は，この1年ではあまり進展させることができなかった．
以上のように，研究内容によって進捗状況に差は出ているものの，全体としてはおおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，F分裂性を持たないFano多様体の研究に取り組む．次数1のdel Pezzo曲面については，次数2の場合のように曲面の自己同型群に注目するほか，反標準因子の線形系の基点をブローアップして得られる有理楕円曲面のMordell-Weil群を調べることで，del Pezzo曲面のF分裂性や反標準因子の一般因子の超特異性，さらには例外曲線の様子などにどのような関係が見られるのかを調べたいと考えている．また3次元Fano多様体についても，F分裂性を持たないという性質が何らかの幾何的条件で記述できないかについて調べる．現在注目しているのはFano多様体上の直線の存在であり，直線の法束を調べることでF分裂性との関係が見えてくるのではないかと考えている．
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| Causes of Carryover |
当該年度の前々年度において，勤務先での業務に従事する必要からいくつかの出張を断念することになり，その結果旅費が当初の見込みを下回ったために未使用分を翌年度に繰り越すことになった．前年度、および当該年度においては研究費の執行は概ね当初計画の通りだったが，結果として前々年度未使用分の額が一部未使用として残る形になった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究を進めるためには，最新の研究成果についての情報を収集する必要があるほか，国内外の研究者と会って議論を交わすことが必要不可欠である．そこで，各地で行われる研究集会やシンポジウム，セミナーなどに参加するための旅費として研究費を使用する．また，これまでに知られている先行研究や最新の研究成果を知るために書籍を数多く買い求める．
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