2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540051
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
伊藤 浩行 東京理科大学, 理工学部, 教授 (60232469)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 正標数特異点 / 野生的群作用 / K3曲面 / Artin-Schreier拡大 / 疑似乱数生成 |
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| Research Abstract |
A)K3曲面およびEnriques曲面のモジュライ空間に関連した研究として、これまでｐねじれ部分群をMordell-Weil群に持つような族の構成を行ってきた。そのような族は有理二重点の変形族から得られ、特異点の変形空間とモジュライ空間の間の興味深い関係となっていた。本年は、標数が2の場合に同様の考察を行ってきたが、散発的な結果のみ得られており、発表には至っていない。
B) 正標数特異点理論に関しては、3次元標準特異点および2次元野生的商特異点そ中心に研究を行った。
3次元標準特異点は、正標数では病理現象と関連があることが知られている。1次元軌跡を持つ標準特異点を一般超平面切断したとき、その超平面上に有理二重点が現れるにもかかわらず、3次元特異点自身はその有理二重点の局所自明族とならないことがある。標数が3以上の場合に、このような特異点を分類するとともに、その性質を解明した。また、関連して、有理二重点の変形空間における特別な階層である、Tjurina数一定軌跡、等特異点軌跡などの詳細な解析を行った。
2次元商特異点に関しては、研究協力者S.Schroeerとの共同研究により、主に野生的群作用による商特異点の解析を行った。特に、標数0において成り立っている商特異点のBrieskornの定理をはじめとした種々の定理が正標数では様相を異にしており、我々はHiruzebruch-Jung特異点の基本群に関する結果、野生的商特異点に対応する双対グラフの位相的性質、とくにノードの数に関する結果などを得ることが出来、正標数特異点理論への大きな貢献となった。
C) 疑似乱数生成については引き続き、アルゴリズムの改良を行っているが良い結果は得られていない。非ケーラー複素多様体と正標数代数幾何学との関連については、新たに、Froelicherスペクトル列の退化に関し検討を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
A)については、具体的な結果は得られていないが、研究の端緒がついたという点では順調である。
B)については、3次元標準特異点に関する結果や、2次元商特異点に関する結果など非常に満足する結果が得られ、さらにその後の研究予定も立っているので、予想以上の達成度であると考えられる。
C)疑似乱数生成については若干計画に遅れが有り、非ケーラー多様体との類似に関する研究については新たな着目点が得られ、研究の困難さを考えると順調といえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
A)K3曲面やEnriques曲面のモジュライ空間の研究は、標数が小さい場合は特殊な現象と結びつき難しい反面、解析しやすい部分がある。B)における野生的商特異点の研究の進展から、K3曲面やEnriques曲面のモジュライ空間の幾何学の研究への寄与が期待され、最近大きく進展しているモジュライ理論に、特異点研究からの寄与を加えた方向で追求していくことになると考えられる。
B)近年の正標数高次元代数多様体の極小モデル理論の大きな進展と関連して、我々の研究は重要性を増している。特に正標数3次元特異点理論においては、我々がこれまで研究してきている正標数特有の特異点の存在が、理論進展に大きな鍵を握っていると考えられる。今後は、高次元極小モデル理論の進展も視野に入れて研究を行う。
また、2次元特異点に関しては、研究協力者のS.SchrooerおよびC.Liedtkeと協力しながら、群スキームの変形と商特異点族、LauferによるTaut特異点理論の正標数への拡張による非Taut特異点の理解、さらには、Artin-Schreier拡大と純非分離拡大との変形による統一的理論の構築などを進めて行く。
C)疑似乱数生成についても、Artin-Schreier拡大の理論的研究と実装時の問題解決といった、理論と実践両面からの研究を更に推し進めていく。非ケーラー幾何と正標数代数幾何との関連についても多くの現象解析を進めて行く。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
A)について、標数2のEnriques曲面のモジュライ理論に関連し、研究協力者のC.Liedtkeとの共同研究を行うための10日間程度のドイツへの旅費および滞在費として使用する。
B)2次元商特異点および3次元特異点の研究のために、研究協力者である廣門、齋藤とのセミナーを定期的に行う。そのため、6回程度の東京広島間の旅費として使用する。また、国内専門家との議論、および研究成果発表のための旅費として仙台および京都と東京間の出張旅費として使用する。
C)疑似乱数生成については、研究協力者北臺と宋と連携をとりながら理論、実践両面から進展を図る。3回程度北臺とのセミナーを行うため、東京広島間の出張旅費として使用する。また、より多くの計算機実験を行う目的から、研究の進展状況により消耗品として計算機を購入予定である。非ケーラー幾何との類似問題については、より多くの類似現象の解析を進めるため、幅広い専門家からの知識提供を受けるた。そのため関連分野の研究集会参加のための旅費、3人程度の講師招聘によるセミナーのための謝金として使用する。
A)、B)、C)を通して、最新の研究資料(書籍や学術雑誌)を購入する費用としても使用予定である。
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