2014 Fiscal Year Research-status Report
対称性を持つ構成法で構成された配置のトーリック環の構造解析
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24540055
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
大杉 英史 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80350289)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | グレブナー基底 / コスツル代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
トーリック環およびトーリックイデアルは，可換環論，凸多面体，整数計画問題，分割表の検定など，幅広い分野に応用が知られており，国内外の研究者によって盛んに研究されている。当該研究の主たるテーマは，トーリック環の生成系に対応する整数ベクトル集合の凸閉包に対する幾何的な変形として，中心的対称配置など，対称性を持つ配置構成法に注目し，付随するトーリック環およびトーリックイデアルの環論的性質の変化等について研究することである。
本年度の研究では，トーリック環の強コスツル性に注目し，研究を行った。強コスツル代数は，可換環論において重要なコスツル性の十分条件として導入された概念である。基本的な事実として，多項式環は強コスツルであり，強コスツル代数のセグレ積，テンサー積は強コスツルであることが知られているが，逆にこのような変形操作では得られないような強コスツル代数がどの程度存在するのかが課題となっている。
当該年度の研究成果の１つめは，日比氏，松田氏との共同研究により，トーリック環として，有限グラフに付随するedge ringを考え，強コスツルとなるための必要十分条件をグラフの言葉で明確に記述することに成功したことである。また，２つめの研究成果は，松田氏との共同研究により，トーリック環の強コスツル性について，十分条件を与えたことである。この十分条件は，RestucciaとRinaldoが一般の代数に対して与えた十分条件をトーリック環に限定して得られる条件（任意の逆辞書式順序に関して，被約グレブナー基底が２次の二項式から成るならば，トーリック環は強コスツル）の拡張になっているだけでなく，トーリック環がスクエアフリーな単項式で生成される場合には，必要十分条件になっている。また，RestucciaとRinaldoは，彼らの十分条件が必要条件であると予想したが，その反例を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
松田一徳氏，日比孝之との共同研究により，強コスツルトーリック環について，その構造の解明に大きな進展が見られ，当初の計画になかった成果が得られた。とりわけ，松田氏との共同研究で得られた，強コスツルとなるための十分条件は，状況によっては，必要十分条件になっており，これらの結果をさらに拡張できれば，強コスツルトーリック環について，決定的な特徴付けを行うことも夢ではないと考えられる。
なお，これらの結果については，日本数学会秋季総合分科会，第２７回可換環論セミナー等において研究発表を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果をもとに，引き続き，より一般的なトーリック環の変形理論の構築を目指す。特に，トーリックイデアルの生成系や，グレブナー基底の次数に注目して研究を遂行する。その際，有限グラフに付随する様々なトーリック環を題材に，実験的考察も行う。
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| Causes of Carryover |
所用のため，一部の出張の日程を短縮したため，旅費に若干の余剰を生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
学会等に積極的に参加し，研究成果の発表や，情報収集に努めるとともに，参加者との研究打ち合わせも行う。
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