2016 Fiscal Year Annual Research Report
Ideal boundary of a Hadamard manifold and Kaehler magnetic fields
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24540075
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 軌道ハープ / ケーラー磁場 / 比較定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー磁場による軌道とその軌道の各点を結ぶ測地線族により構成される軌道ハープの弦長に関する比較定理と一定の長さの弦線分で構成されるハープ扇形の弧の長さ・天頂角に関する比較定理を得たことを平成26年度の報告書で報告したが、この考察は背理法を用いて行っていたため等号成立のための条件がわからず、トポノゴフの三角形の比較定理に対応する結果としては弱い形しか得られていなかった。
今年度、測地線の変分が作るヤコビ場に関するラウチの比較定理の適用部分を精査することにより、等号成立時の様子を調べることに成功した。軌道ハープが作る曲面の断面曲率が c 以下であるとき、ある弦に関して弦長が正則断面曲率 c の複素空間形における軌道ハープの弦長と一致すれば、この弦までの軌道ハープはケーラー多様体の中で全測地的であり断面曲率 c の部分多様体になる事を示すことができた。また弦と軌道とがなす角の余弦に関して、ある弦までの弦余弦がすべて正則断面曲率 c の複素空間形における軌道ハープの弦余弦に一致すれば同様の結論が得られることもわかった。
同様にハープ扇形に関しても、弧の長さが同じ弦長を持つ複素空間形におけるハープ扇形の弧の長さと等しいという条件か、天頂角が同じ弦長を持つ複素空間形におけるハープ扇形の頂角と等しいという条件が成り立てば、全測地的で断面曲率 c の部分多様体になる事を示すことができた。弦長に関する結果を含めてこれらの性質はちょうどトポノゴフの比較定理の等号成立要件に対応する物で、ケーラー磁場の軌道の性質を調べるとケーラー多様体の性質がわかる、というタイプの結果となっており、ケーラー磁場の考察の中で中核を成す物である。
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