2012 Fiscal Year Research-status Report
平均化の手法による実及び複素フィンスラー幾何学の大域的研究
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24540086
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
愛甲 正 鹿児島大学, 理工学研究科, 教授 (00192831)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小櫃 邦夫 鹿児島大学, 理工学研究科, 准教授 (00325763)
宮嶋 公夫 鹿児島大学, 理工学研究科, 教授 (40107850)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | Finsler metrics / Finsler connections / Averaged metrics / L.C. Berwald / Rizza Kahler manifolds / L.C.Rizza-Kahler |
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| Research Abstract |
平成２４年度は，フィンスラー幾何学で最近になって注目されている平均化の手法を応用し，既によく知られている特殊なフィンスラー空間の研究を行った．Berwald空間の研究でよく知られたZ. Szabo氏の結果を，この平均化の手法で見直すことにより，Szabo氏の研究をより簡明な形で表現できた．この手法は，研究代表者が過去に研究した「局所共形的Berwald空間」へ応用することにより，フィンスラー幾何学における共形理論へと発展させることができた．特に共形幾何学で重要なWeyl接続をフィンスラー幾何学へも拡張したFinsler-Weyl接続を導入し，共形的に平坦なフィンスラー空間の特徴付けを行うことができた．
また複素フィンスラー幾何学への応用については，Rizza-Kahler計量とよばれるフィンスラー計量を許容する複素多様体を研究した．その結果，Hartogsの定理を応用することにより，このフィンスラー計量はBerwald計量に帰着することがわかり，またこの計量をファイバー積分することにより得られるRiemann計量は底空間のKahler計量になることを示した．したがってRizza-Kahler計量という計量のクラスは条件が強すぎることがわかった．そこで，少し条件を緩めて，Hopf多様体が局所共形的Kahler計量という非Kahler計量を許容したように，局所共形的にRizza-Kahler計量になってるフィンスラー計量（L.C.Rizza-Kahler計量）を提案し，その解析を行った．その結果，平均化の手法の応用として，このフィンスラー計量をファイバー積分して得られる底空間の計量はL.C.Kahler計量になることを示すことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題にある「平均化の手法」を用いて得られた成果を実フィンスラー幾何学へ応用し，特に局所共形的Berwald空間の特徴付けや，またその空間に付随しているRiemann計量のファイバー積分による表示を得ることができた．また，この付随するRiemann計量のLevi-Civita接続とフィンスラー接続との関係をファイバー積分，すなわち平均化を用いて表現することができた．実フィンスラー幾何学への平均化の手法の応用に着いては，それまでの結果をまとめ，学術雑誌に発表した．
複素フィンスラー幾何学への応用については，L.C.Rizza-Kahler計量という新しい計量を提案し，よく知られたL.C.Kahler計量との関係を研究し他．得られた研究成果のいくつかは，第４７回フィンスラー幾何学シンポジウム（平成２４年１１月鹿児島市）で講演し発表するとともに，論文にまとめ投稿中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２４年度の研究成果は主に実フィンスラー幾何学において平均化の手法で研究を遂行してきた．平均化の手法とは計量や接続をファイバー積分を用いて底空間の計量や接続を構成する方法である．実フィンスラー幾何学の場合，この平均化の手法がうまく機能するのは，与えられた計量が特殊な条件，すなわち，計量がLadndsbergであるという仮定では，底空間での微分がファイバー積分の中にLie微分作用素として入り込み，うまく議論を展開できる．しかしながら，このLandsbergという仮定は強すぎることがわかっている．フィンスラー幾何学における未解決問題の一つである，Landsberg計量の具体的な例の構成も重要な研究課題であり，この問題にも着手した．
一方で，複素の場合は，実フィンスラー幾何学とは違い，ファイバーに横断的な方向でファイバー計量を常に保つようなものが自然にとれることがわかっている．したがって実の場合のようにLandsbrgというような仮定は必要ない．さらに，そのような方向へのリフト（水平リフト）は，Chern-Rund接続と呼ばれている自然な複素フィンスラー接続を定めることがわかっている，この接続は複素フィンスラー幾何学に基本的な役割をはたすことがわかっている．今後は，与えられた複素フィンスラー計量やChern-Rund接続のファイバー積分から得られる計量や接続を研究し，底空間のKahler幾何学との関係を研究する．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
「該当なし」
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