2014 Fiscal Year Research-status Report
高分子のトポロジーへの応用を目指す結び目の局所変形の研究
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24540089
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00112524)
田山 育男 大学院理学研究科, 理学(系)研究科(研究院), 研究員 (00382036)
森内 博正 近畿大学, 医学部, 講師 (20453128)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 結び目 / 絡み目 / 整合的バンド手術 / 交差交換 / ジョーンズ多項式 / 交差交換距離 / 整合的バンド距離 / 絡み目解消数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，DNA結び目に作用する酵素の特徴付けを調べる分子生物学の研究への応用を目指しつつ，結び目，絡み目の局所変形の研究を進めることである．DNA分子は，複製，転写，組み換えという遺伝現象の核心をなす過程において，その位相（トポロジー）が変化するが，それはトポイソメラーゼとよばれる酵素の働きによるものである．DNA結び目の局所変形を引き起こすトポイソメラーゼの作用を解析することを念頭におきつつ，次の3種類の結び目，絡み目の局所変形について研究をおこなった．１．整合的バンド手術．２．結び目の非整合的バンド手術であるH(2)移動．３．交差交換．それぞれの局所変形により与えられた２つの結び目，絡み目は移り合うことが知られている．そのための最小回数を結び目，絡み目間の距離と定義して，小さい交点数の結び目，絡み目間の距離を求めることが具体的な問題となる．これらの距離についてはすでにいくつかの表が発表されている．
2014年度の研究は以下のとおりである．
１．７交点までの結び目と２成分絡み目の間の整合的バンド距離の表を作成した．
２．12交点までの素な結び目の結び目解消数の表 Cha，Livingston の KnotInfo というインターネットのサイトにあるが，有限巡回分岐被覆のホモロジー群の階数によるWendtの定理，多項式不変量の特殊値を用いた宮澤の定理を適応して，多くの未決定の結び目解消数を決定，あるいは，評価を良くすることができた．
３．２成分絡み目の間の交差交換距離（ゴルディアン距離）について研究を開始した．特に，交点数が６までの絡み目について，その交差交換距離をすべて決定することができた．すでに昨年度までに得られたジョーンズ多項式の特殊値を用いる下からの評価が本質的な役割を果たした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の実施状況報告書において，７交点までの結び目，絡み目の整合的バンド距離の表を作成することを１つの目標としていたが，2014年度においては７交点までの結び目と２成分絡み目の間の整合的バンド距離の表を作成した．したがって，結び目間の整合的バンド距離の表は一昨年度に作成しているので，絡み目間の整合的バンド距離の表が残っている．
また，昨年度の実施状況報告書において，結び目，絡み目の交差交換距離の研究を進めることも計画していたが，それについては，１２交点までの素な結び目の結び目解消数のCha，Livingston の表の検討，改良，および，６交点までの２成分絡み目の交差交換距離の表の作成により，これに対応する研究成果が得られたものと考えられる．
さらに，交差交換距離，整合的バンド距離，H(2)距離の上からの評価について，図式の研究についても言及していたが，これについては未着手である．
以上により，研究はおおむね順調に進展していると結論づける．
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度の実施状況報告書において，７交点までの結び目，絡み目の整合的バンド距離の表を作成することを目標としていたが，現在までの達成度で述べたように，２成分絡み目の間の整合的バンド距離の作成が未着手であったので，この表の作成を開始したいと考える．また，Darcy-Sumners の結び目の交差交換距離の表の改良に引き続き取り組んでいきたい．
さらに，２成分絡み目の交差交換距離の研究を開始したが，これについても，研究を進展させたい．具体的には，交点数が８までの２成分絡み目の交差交換距離を調べること，３成分以上の絡め目の交差交換距離について考えたい．絡み目の場合は，向きを考慮に入れた場合，向きを無視する場合の２通りがあり，状況が複雑である．また，最近，多変数アレキサンダー多項式を利用して絡み目解消数を決定した研究が発表されており，その研究も視野にいれながら研究を進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
研究代表者の金信が，2014年度は数学科教室主任を拝命し，本務の仕事が多忙で，予定した出張を減らさざるを得なかったのが大きな理由である．実際，予定していた７月のトポロジーシンポジウム（東北大），１０月東北結び目セミナー（秋田大），１月下旬の結び目に関する東アジアセミナー（中国・上海）に出席しなかったのが特に大きい．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
Quach Can Van 教授との共同研究のため８月下旬から９月にかけてスイス・ジュネーブ大学に滞在する予定である．また，研究推進のため，研究代表者，研究分担者，研究協力者は以下の開催予定の学会，研究集会に出席，研究発表をおこなう予定である．
(1) ５月22日～24日 ILDT京都大学数理解析研究所 (2) ８月6日～9日 トポロジーシンポジウム 名古屋工業大 (3) ８月18日～21日 拡大KOOKセミナー 神戸大 (4) １０月中旬 東北結び目セミナー 東北大 (5) １２月下旬 結び目の数学VIII 早稲田大
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