2013 Fiscal Year Research-status Report
対称空間における部分多様体の幾何学と調和写像論の研究
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24540090
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
大仁田 義裕 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90183764)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 信 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10243354)
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| Keywords | 微分幾何学 / 部分多様体論 / 対称空間 / リー理論 |
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| Research Abstract |
今年度は，本研究課題の２年目として，国内外での研究発表講演，研究交流や関連の国際研究集会の開催など積極的に行い，以下のように順調に研究が進んでいる。ケーラー多様体の極小ラグランジュ部分多様体の研究に関して，K3曲面論専門の若手研究者と特殊ラグランジュ部分多様体の変形・モジュライに関する議論を開始した。研究課題に関わる可積分系と非線型PDEの研究を推進するため，連携研究者Martin Guest 教授（早稲田大学），台大数学科学中心C.S.Lin所長（国立台湾大学）と協力してOCAMI-TIMS@Waseda共催ワークショップを実施した。共同研究者の北京・Hui Ma（馬輝）副教授を今年度２回訪問，4月にはOberwolfach数学研究所の研究集会“Progress in Surface Theory”に同行参加，Hui Ma副教授が共同研究の発表講演“Hypersurfaces in spheres and Lagrangian submanifolds in complex hyperquadrics”を行った。研究代表者とHui Ma副教授との共同研究は，単位標準球面内の等径超曲面のガウス像として得られる複素２次超曲面のコンパクト極小ラグランジュ部分多様体のハミルトン安定性や他の関連の性質の研究を継続している。韓国・NIMSでの第17回慶北国立大学微分幾何学国際ワークショップ兼第7回慶北国立大学 Grassmann Research Group-大阪市立大学数学研究所共催微分幾何学ワークショップに組織委員の一人として参加し，昨年度から始めている等径超曲面のガウス像の交叉に関する研究成果を発表と今後問題や展望について講演した。連携研究者・田中真紀子にも参加してもらい，コンパクト型エルミート対称空間の実形の交叉数に関する新たな研究成果を講演し有益な議論をもてた。とくに，標準球面内の等径超曲面のガウス像のラグランジュ交叉理論の研究に大いに示唆を得ている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者と北京・Hui Ma（馬輝）副教授との共同研究は，単位標準球面内の等質等径超曲面のガウス像として得られる複素２次超曲面のコンパクト極小ラグランジュ部分多様体のハミルトン安定性を完全に決定した研究論文のPart Iは微分幾何学分野の世界トップジャーナルのJournal of Differential Geometryに，Part IIはTohoku Mathematical Journalに掲載および掲載決定された。Oberwolfach研究集会“Progress in Surface Theory”レポートでは，オーガナイザーにより標準球面の等径超曲面論の最近の発展に関する３つの講演の一つとして言及され，我々の等径超曲面のガウス像を複素２次超曲面内のラグランジュ部分多様体として研究するアプローチが他の２つの講演の研究でも使われており，今後の新たな等径超曲面研究を示唆している。昨年度に開催した部分多様体論に関する研究集会“Differential Geometry of Submanifolds and its Related Topics”（2012年8月佐賀大学）のプロシーディングスはWorld Scientific社から出版された。異なるコンパクト型エルミート対称空間のラグランジュ部分多様体を関係づける問題を研究した昨年度の成果もこのプロシーディングスに収録された。昨年度から開始した等径超曲面のガウス像のラグランジュ交叉理論研究に関して当初得られた研究成果も出版している。
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| Strategy for Future Research Activity |
標準球面の等径超曲面のMuenzner, OT-FKM理論を徹底的に検討して，等径超曲面とそのガウス像の構造と幾何学の理論を構築しておきたい。とくにOT-FKM型の非等質等径超曲面のガウス像のハミルトン安定性などの性質の研究は非常に興味深い。等径超曲面のガウス像の交叉理論研究に関しては，RIMS共同研究「等径超曲面のガウス像のラグランジュ交叉理論（Lagrangian intersection theory of the Gauss images of isoparametric hypersurfaces）」, 期間：2014年6月2日～2014年6月6日（代表者：大仁田）が採択され，Hui Ma副教授（北京・清華大学），宮岡礼子教授（東北大学）との共同研究を集中的に行い新たな成果を目指す。引き続き，大仁田-宮岡共著作「調和写像と可積分系理論」の完成を目指し関連する研究を推進し執筆も継続する。連携研究者・小池直之（理科大理）とは，今までの実績と打ち合わせなどを踏まえて，ヒルベルト空間内の無限次元等径部分多様体論，とくにKac-Moody対称空間に等方軌道として得られる部分多様体，に関する国際共同研究に関して検討を続ける。
４月に慶北国立大学微分幾何研究グループ（代表：Y.J. Suh教授）と共催The 8th OCAMI-KNUGRG Joint Differential Geometry Workshop on“Submanifold Geometry and Related Topics”を実施する。８月には，ソウルICM 2014 Satellite Conference“Real and Complex Submanifolds”をY.J. Suh教授（慶北国立大学），J. Berndt教授（キングスカレッジロンドン）とともに組織・開催し，本研究課題の国際的な研究活動の高揚に寄与するものである。４月のワークショップは，サテライトコンフェレンスの準備的役割で打ち合わせも行う。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
部分多様体幾何学と関連研究に関する韓国・慶北国立大学の微分幾何研究グループ（代表：Young Jin Suh教授）との共催国際ワークショップは，当初2014年2月に実施予定であったが，2014年8月に開催予定のSeoul ICM Satellite Conferenceの組織の準備などあり，次年度に延期することになったため。
部分多様体幾何学と関連研究に関する韓国・慶北国立大学の微分幾何研究グループ（代表：Young Jin Suh教授）との共催国際ワークショップは，The 8th OCAMI-KNUGRG Joint International Workshop on Submanifold Geometry and Related Topics, April 14 (Mon.) - 16 (Wed.), 2014 として開催する。
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