2012 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
24540091
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Research Institution | Osaka Prefecture University |
|---|
Principal Investigator |
山口 睦 大阪府立大学, 高等教育推進機構, 教授 (80182426)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
入江 幸右衛門 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40151691)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | スティーンロッド代数 / 表現論 |
|---|
| Research Abstract |
１．表現可能関手が位相空間の圏を値にとるよう，可換位相環の間の連続な準同型写像全体からなる集合に適切な位相を定義することによって，可換位相環の圏は位相空間の圏によってenrichされた圏にすることができる．この圏の性質を抽象することによって，擬位相圏の概念を導入し，表現論を展開する場としての擬位相圏の理論の構築を行った．
２．擬位相圏の間の関手が定める，射の集合の間の写像が連続であるとき，その関手を連続関手と呼ぶことにして，擬位相圏から位相空間のなす圏への表現可能関手は連続関手であることを示した．さらに擬位相圏の間の関手全体からなる圏にも擬位相圏の構造を与えることによって，擬位相圏から位相空間のなす圏への表現可能関手に関する米田の補題を示し，それを用いて理論の構築に必要な命題を示した．
３．擬位相圏から位相空間の圏への関手を位相関手と呼ぶことにする．位相関手からなる圏において，「写像空間」に相当する対象を定義して，この圏が“cartesian closed”な圏であることを示し，この圏のより深い性質について研究を進めた．
４．擬位相圏から位相群のなす圏への関手を位相群関手と呼ぶことにし，位相群関手の間の自然変換が与えられたとき，この自然変換から，それぞれの位相群関手が作用する位相関手のなす圏の間の関手と，その右随伴関手を構成した．この右随伴関手が群の誘導表現を与えるが，誘導表現の理論の細部について研究を行った．
５．次数付き位相ベクトル空間の圏の理論を，次数付き位相加群の圏の理論へと一般化する過程で，これまでに構築した理論の細部を詳細に見直し，次数に付随した符号付けの規則の与え方を改良し，表現論における種々の構成の基礎となる「自由位相加群」の概念を再構成した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
次数付き位相ベクトル空間の圏の理論を，次数付き位相加群の圏の理論へと一般化する過程で，これまでに構築した理論の細部を詳細に見直した際，次数に付随した符号付けの規則の与え方に問題があったことが判明した．この問題の解消するための理論の修正と，その修正によって新たな問題が生じていないことの確認を行うことに時間を要したため，誘導表現の構成を行っただけで，その性質を詳細に調べるまでには至らなかった．
|
| Strategy for Future Research Activity |
位相群関手の表現の圏において誘導表現を構成したが，これを一般化されたスティーンロッド群の非安定表現の圏における誘導表現の概念に精密化する．また，Brown-Gilterにより構成された，スティーンロッド代数上の巡回加群など，主に幾何学的意味がある具体的なスティーンロッド群の表現の間の関係について，誘導表現の立場から調べてゆく．
同時に，すでに構築した理論の細部の見直しも行い，誤りがないかどうかの確認と改善を行ってゆく．
|
| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度購入を計画していたパーソナルコンピュータの新製品の性能の向上が，期待されたものではなく購入を見送ったため，次年度以降に発売されるパーソナルコンピュータの性能を慎重に見極めた上で購入する計画である．
|
